جه داریم که به دلیل جابجایی A برقراری شرط (۲-۱) برقراری شرط b_١+b_٢=١ , x=b_١ x_١+b_٢ x_٢ را نتیجه می‌دهد چون :
x=a_١^* x_١ a_١+a_٢^* x_٢ a_٢=a_١^* a_١ x_١+a_٢^* a_٢ x_٢=b_١ x_١+b_٢ x_٢
به طوری که .b_١+b_١=a_١^* a_١+a_١^* a_١=١ اکنون نشان می‌دهیم که در حالت کلی هر نقطه ی-A فرین، فرین است.
فرض کنیم x∈K⊆A یک نقطه ی -Aفرین باشد لذا شرط (۲-۲) برای
x=a_١ x_١ a_١+a_٢ x_٢ a_٢
نتیجه می‌دهد که a_١ x=xa_١ , a_٢ x=xa_٢ , x=x_١=x_٢. اکنون شرط (۲-۲) به شرط زیر تبدیل می شود :
x=a_١ x_١ a_١+a_٢ x_٢ a_٢=a_١ a_١ x_١+a_٢ a_٢ x_٢=a_١^* x_١+a_١^* x_١
=b_١ x_١+b_١ x_١ : b_١+b_٢=a_١^*+a_٢^*=١
که این شرط نتیجه می‌دهد x=x_١=x_٢ پسx، فرین است.■
اکنون چند مثال از نقاط فرین را که در مطرح شده و در و اثبات آنها آورده شده را بیان می‌کنیم.
مثال۲-۲-۱۰: فرض کنیم S={T∈M_n : ∥T∥≤١} مجموعه دایره یکه در M_n باشد آن‌گاه نقاط فرینC^*، دقیقاً همان طول پاها هستند.
طبق قضیه ی ۱-۱ از ]۸[، اگر x∈S طول پا یا هم طولپا باشد آن‌گاه x، فرینC^* است. از طرفی طبق نتیجه ۲-۱ از اگر x، فرینباشد (x∈S) آن‌گاه x طولپا و هم طولپاست. اما طبق تعریف ۲-۱-۹، x یکانی است و در فضاهای متناهی‌البعد یکانی ها و طولپاها یکی هستند. چون طبق قضیه ۴-۵-۱ از هر دو فضای هیلبرت دارای بعد یکسان، ایزومورفیک هستند پس اگرU:M_n⟶M_n یک طولپا باشد چون dim⁡〖M_n=dim⁡〖M_n 〗 〗 لذاU پوشا است و در نتیجه یکانی. بنابراین x∈S⊆M_n یک نقطه ی فرین است اگر و فقط اگر طولپا باشد.■
قضیه ۲-۲-۱۱: اگر A={T : -١≤T≤١}⊆B(H) ان گاه S، C^*-محدب است و نقاط C^*-فرین A متعلق به مجموعه ی {٢E-1 : E≥۰ و است تصویر E} هستند .
اثبات: ]۱۰[، قضیه ۲۷ .
مثال ۲-۲-۱۲: فرض کنیم . نقاط فرین مجموعه یS دقیقاً همان تصاویر متعامد (شامل و ۱) هستند.
اثبات:
فرض کنیم P یک تصویر باشد و P=P_١ x_١ P_١+P_٢ x_٢ P_٢ به طوری که :
P_١,P_٢۰ , ۰≤x_i≤۱ , P_١^٢+P_٢^٢=١.
اگر z∈PC^n باشد (M_n (C)=B(C^n))ان گاه :
+ =+ =(P_١ x_١ P_١+P_٢ x_٢ P_٢ )z , z ===(P_١^٢+P_٢^٢ )z , z
=+=+ و۰≤x_i≤١ و =. بنابر این x_i=١ روی P_i PC^n. یک بحث مشابه نشان می دهد که x_i=0 رویP_i 〖(PC^n)〗^⊥ . بنابر این P_i PC^n∩P_i 〖(PC^n)〗^⊥={۰} . از ان جایی که هر P_i معکوس پذیر است، P_i 〖(PC^n)〗^⊥ و P_i PC^n زیر فضاهای بسته هستند به طوری که :
dim⁡〖(PC^n )=dim⁡(P_i (PC^n )) 〗 و dim⁡(P_i 〖(PC^n)〗^⊥ )=dim⁡〖(〖(PC^n)〗^⊥)〗
و
C^n=P_i (PC^n )=P_i 〖(PC^n)〗^⊥
لذا برای هر i، C^n=M_i+N_i به طوری که M_i یک زیر فضای بسته است که روی ان x_i=١ و N_i یک زیر فضای بسته است که روی ان x_i=0 و M_i∩M_i={0} است. از ان جایی که هر x_i≥۰ نتیجه می شود که هر x_i یک تصویر متعامد است و چون بعد ها در رابطه ی بالا برابر هستند پس x_i ها با P هم ارز یکاتی هستند.
برای اثبات عکس مطلب از قضیه ۲-۲-۱۱ استفاده می کنیم. ادعا می کنیم اگر Q نقطه ی C^*-فرین از مجموعه S باشد ان گاه T=٢Q-١ یک نقطه ی C^*-فرین از A است. فرض کنیم T=P_١ x_١ P_١+P_٢ x_٢ P_٢ یک ترکیب محدب محض از {x_١ , x_٢}⊆A باشد به طوری که یک x_(i_0 ) ای وجود دارد که با T هم ارز یکانی نیست. فرض کنیم y_i=((١+x_i))⁄٢ ان گاه :
Q=P_١ y_١ P_١+P_٢ y_٢ P_٢
یک نمایش از Q به عنوان ترکیب محض از عناصر S است. اما از ان جایی که x_(i_0 ) با T هم ارز یکانی نیست و T=٢Q-١ پس y_(i_0 ) با Q هم ارز یکانی نیست که با C^*-فرین بودن Q در تناقض است. بنابر این T یک نقطه ی C^*-فرین از A است.اما طبق قضیه ۲-۲-۱۲ ، T=٢E-١ پس ٢Q-١=٢E-١ که E≥۰ و تصویر است.بنابر این Q یک تصویر است.
فصل چهارم
نقاط فرین C* (C* – فرین)
۳-۱: برد ماتریسی یک عملگر ازیک عامل:
در این بخش قصد داریم ارتباط بین برد ماتریسی یک عامل و بستار ضعیف ستاره ی غلاف محدب آن را بیان کنیم. در واقع منظور از بستار ضعیف ستاره غلاف محدب یک نقطه- یx∈R (R یک عامل است) بستار 〖CO〗_R (x) در توپولوژی ضعیف ستاره است. ابتدا چند قضیه را که برای بررسی این ارتباط لازم است مطرح می‌کنیم.
قضیه ۳-۱-۱ (قضیه تعدی کدیسون(۳: فرض کنیمπ:A⟶B(H) یک نمایش تحویل‌ناپذیر از – جبر A باشد و{x_١,…,x_n} یک مجموعه مستقل خطی درH و y_١,…,y_n∈H آن‌گاه عنصر a∈A موجود است به طوری که π(a) x_j=y_j (j=1,…,n). اگر عنصر خود الحاق b∈B(H) موجود باشد به طوری که y_j=bx_j (j=1,…,n)، a را می‌توان خود الحاق در نظر گرفت. اگر عملگر یکانی V روی H موجود باشد که (j=1,…,n) y_j=Vx_j،a را می‌توان یک عنصر یکانی ازAبه شکل(exp⁡〖iH=e^iH)exp⁡iH 〗 که H خود الحاق است، در نظر گرفت.
اثبات: [۹] قضیه ۱-۲-۱۰ .
توجه داشته باشیم که در روند اثبات این قضیه این چنین نتیجه می‌شود که یکانی u_0 عضوπ(A) به فرم exp⁡〖iH_0 〗 موجود است کهH_0∈π(A) خود الحاق است و u_0 x_j=y_j. پس عنصر خود الحاق H در A موجود است که π(H)=H_0 و u=exp⁡iH یک عملگر یکانی در A است به طوری که :
π(u)=π(exp⁡〖iH)=exp⁡〖iπ(H)=exp⁡〖iH_0=u_0 〗 〗 〗
در واقع در قسمت آخر قضیه اگر عملگر یکانی V روی H موجود باشد که y_j=Vx_j، آن‌گاه عملگر یکانی u درA موجود است که می‌توان a را به عنوان یک عملگر یکانی در نظر گرفت.
لم۳-۱-۲: فرض کنید A یک جبر یکانی باشد و a_١,…,a_m عناصر A وP یک حالت روی A باشد که در بستار ضعیف ستاره ی حالت های محض است. آن‌گاه برای هر ε۰ عنصر h∈A موجود است به طوری که ∥h^* (a_i-Pa_i )h∥ε برای i=1,…,m .
اثبات:] ۹[، لم ۲-۲.
قضیه ۳-۱-۳ : فرض کنیم R یک عامل باشد و A⊆R یک زیر عامل از آن (شامل یکه R) به طوری که n∈N ای موجود است که A با M_n ایزومورفیک است.آن‌گاه :
(〖CO〗_R ) ̅(x)∩A=W_n (x) ∀x∈R
جایی که توسط یکی کردن A با M_n (با استفاده از یک *- ایزومورفیسم)، W_n (x) به عنوان یک زیر مجموعه از A در نظر گرفته می‌شود. حتی برای نگاشت کاملاً مثبت یکانی φ:A→R و هر زیر مجموعه C^*-محدب فشرده ی ضعیف ستاره یK از R، φ(K)⊆K.
اثبات:
فرض کنیم y∈(〖CO〗_R ) ̅(x)∩A باید نشان دهیم y∈W_n نیز است. چون y∈(〖CO〗_R ) ̅(x) بنابراین نت (y_υ)⊆(〖CO〗_R ) ̅(x) موجود است به طوری که y_υ □(→┴SOT ) y. از طرفی نگاشت f:R⟶R با تعریف ∀ w∈R f(w)=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی برای a_١,…,a_n های عضو R است که ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١. این مطلب از قضیه ۱-۴-۶ نیز نتیجه می شود اما به طور مستقیم نیز می توان ان را نشان داد. فرض کنیم x⨂w یک عنصر مثبت در M_n⨂R باشد پس 〖(x⨂w)〗^*=x⨂w. از آن جایی که هر عنصر عضو M_n⨂R مثل x⨂w به صورت یک ماتریس n×n ، (■(w 0&⋯&۰@⋮&⋱&⋮@۰ ۰&⋯&۰)) است لذا :
〖((〖id〗_n⨂f)(x⨂w))〗^*=〖(x⨂f(w))〗^*=〖(x⨂(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗))〗^*=(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗&۰@۰&۰))^*
=〖[ ■(a_1^* … a_n^*@0)■(w&&[email protected] &⋱&@۰&&w) ■(a_1&@⋮&۰@a_n&) ]〗^*
=■(a_1&@⋮&۰@a_n&)^( *) ■(w&&[email protected]&⋱&@۰&&w)^( *) ■(a_1&…&[email protected]&&@&0&)^( *)
= ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ■(w^*&&[email protected] &⋱&@۰&&w^* ) ■(a_1&&@⋮&&۰@a_n&&)
= ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ■(w&&[email protected]&⋱&@۰&&w) ■(a_1&&@⋮&&۰@a_n&&)
=(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗&۰@۰&۰))=x⨂∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗=x⨂f(w)=(〖id〗_n⨂f)(x⨂w)
پس 〖id〗_n⨂f هر عنصر خودالحاق را به یک عنصر خودالحاق می‌نگارد. چون 〖id〗_n⨂f یک *- همومورفسم است بنابراین طبق قضیه ۸-۱-۴ از ،
sp((〖id〗_n⨂f)(x⨂w))≤sp(x⨂w)
و چون x⨂w مثبت است پس sp(x⨂w)≥۰. بنابراینsp((〖id〗_n⨂f)(x⨂w))≥۰ لذا،〖id〗_n⨂f یک نگاشت مثبت است چون هر عنصر مثبت را به یک عنصر مثبت می‌نگارد.
از طرفی نگاشت f:R⟶R یک نگاشت یکانی برای a_1,…,a_n∈R است که، ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١ چون :
f(I)=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* Ia_j 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١
پس می‌توان نتیجه گرفت که W_n (y_υ )⊆W_n (x) چون اگر a∈W_n (y_υ) آن‌گاه طبق تعریف W_n (y_υ)، اندیس υموجود است به طوری که :
φ:〖CO〗_R (x)⟶M_n , y_υ∈〖CO〗_R (x) , a∈φ(y_υ)
نگاشتی کاملاً مثبت و یکانی است. بنابراین x∈R موجود است به طوری که :
a=φ(y_υ ) , ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١ , y_υ=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* xa_j 〗
اکنون برای آنکه a∈W_n (x) باشد باید x∈R موجود باشد به طوری که برای نگاشت کاملاً مثبت و یکانیa=T(x) ،T . اما طبق مطالب بالا تابع f:R⟶〖CO〗_R (w) یک نگاشت کاملاًمثبت و یکانی پوشاست لذا :
∃ x∈R : a=φ(y_υ )=φ(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* x_j a_j 〗)=φf(x)=T(x) : T=φ∘f
که T یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی از R به M_n است (φ,f هر دو کاملاً مثبت و یکانی هستند). بنابراین a∈W_n (x). پس W_n (y_υ)⊆W_n (x) به ازای همه υ ها.
از طرفی y_υ⟶yکه y_υ∈〖CO〗_R (x) , y∈(〖CO〗_R ) ̅(x) پس W_n (y)⊆W_n (x). چون که تابع φ:R⟶R با تعریف φ(w)=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗 یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی است. لذا φ یک تابع پیوسته است. چرا که اگر فرض کنیم U یک همسایگی اطراف φ(x) باشد و δ۰ موجود باشد که برای هر ∥y-x∥δ , y∈R آن‌گاه چون :
∥φ(y)-φ(x)∥=∥φ(y-x)∥=∥∑_(j=1)^n▒〖a_j^* (y-x) a_j 〗∥=
∥(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* (y-x)a_j 〗&۰@۰&۰))∥ ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ■(y-x&&[email protected]&⋱&@۰&&y-x )■(a_1&&@⋮&&۰@a_n&&) ∥
≤∥ ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ∥ ∥ ■(y-x&&[email protected]&&@0&&y-x) ∥ ∥ ■(a_1&&@⋮&&۰@a_n&&) ∥
=δ∥(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗&۰@۰&۰))∥=δ ∥(■(۱&۰@۰&۰))∥=δ ⟹ ∥φ(y0-φ(x)∥δ
⟹ φ(y)∈U.
پس وقتی y_υ⟶y به دلیل پیوستگی φ، φ(y_υ)→φ(y).
از طرفی φ(y_υ)∈W_n (y_υ)⊆W_n (x) و W_n بسته، لذا φ(y)∈W_n (y_υ)⊆W_n (x) پس W_n (y)⊆W_n (y_υ)⊆W_n (x) در نتیجه W_n (y)⊆W_n (x). ولی از انجایی که y∈A≅M_n لذاφ:A→A≅M_n یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی است به طوری که :
∃ y∈A : φ(y)=y
پس y∈W_n (y)⊆W_n (x) در نتیجه y∈W_n (x).
بر عکس فرض کنیم y∈W_n (x) باید ثابت کنیمy∈(〖CO〗_R ) ̅(x). چون y∈W_n (x) لذا نگاشتφ:R→A≅M_n موجود است که φ یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی است به طوری که :
∃ x∈R : φ(x)=y
چونM_n=B(C^n) بنابراین طبق گزاره ۱-۴-۳ (نمایش اشتاین اسپرینگ) :
φ(w)=V^* σ(w)V (w∈R)و σ:R→B(K) , V:C^n→K
جایی که یک *- همومورفیسم یکانی و K یک فضای هیلبرت است و V یک طولپا است. (بدون از دست دادن کلیت مطلب فرض می‌کنیم این نمایشσ، مینمال نیز است). از طرفی R≅M_n (B) به طوری که B=A’∩R. چون اولاً طبق] ۹[، صفحه ۴۲۷ ،پاراگراف قبل از لم ۶-۶-۲، وقتی n⨂

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید