) تحویل‌ناپذیر است.
۲) اگر A آبلی باشد آن‌گاه یک حالت محض است اگر و فقط اگر یک مشخصه روی A باشد.
اثبات: قضیه ۶-۱-۵از [۱۷].
خاطر نشان می‌کنیم که طبق [۱۷] اگر یک حالت روی – جبر A باشد ، نمایش یک به یک φ_τ:A⟶B(H_τ) و بردار یکه ξ موجود هستند که به طوری که :
τ(a)=φ_τ (a)ξ,ξ
در واقع N_τ={a∈A : τ(a^* a)=0} و H_τ کامل شده A/N_τ است. نمایش φ_τ:A⟶B(H_τ ) را نمایش (GNS) گوییم. البته =τ(b^* a)یک ضرب داخلی روی A/N_τ تعریف می‌کند و اگر φ:A⟶B(A/N_τ ) یک نمایش باشد و (a+N_τ)(b+N_τ )=ab+N_τ آن‌گاه φ(a) یک بسط منحصر به فرد φ_τ (a) روی H_τ دارد.
فصل سوم
ساختار مجموعه‌های محدب C* (C*- محدب)
۲-۱: مجموعه‌های محدب :
تعریف ۲-۱-۱: زیرمجموعه K از -C^*جبر یکانی A را A-محدب (یا محدب) گوییم هرگاه، ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* x_j a_j 〗∈K جایی که a_j∈A وx_j∈K و ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=۱ برای همه ها.
تعریف ۲-۱-۲: مجموع‌ متناهی ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* x_j a_j 〗 را ترکیب محدب و a_i را ضرایب محدب می‌نامیم.
تعریف ۲-۱-۳: فرض کنیم K زیر مجموعه جبر یکانی A باشد، غلاف- محدب K را کوچکترین مجموعه محدب شامل K تعریف می‌کنیم و با C^*-Conv(K) نشان می‌دهیم. در واقع :
C^*-Conv(K)=∩{B : K⊆B ومحدب استC^*، B}
حال اگر x∈A غلاف-محدب x را با 〖CO〗_R (x) نشان می‌دهیم که به صورت :
〖CO〗_R (x)={ ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗 : a_i∈A , ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=۱ , n∈N}
است.
تعریف ۲-۱-۴: فرض کنیم A یک جبر یکانی باشد و x,y∈A. دو عملگر x,y را هم‌ارز یکانی گوییم هرگاه یکانی u موجود باشد به طوری کهy=uxu^* و آن را با x≅y(x∼y) نشان می‌دهیم.
تعریف ۲-۱-۵: ترکیب محدب ∑_i▒〖a_i^* x_i a_i 〗 , C^* را یک ترکیب محدب محض گوییم هرگاه ضرایب- محدب a_i، معکوس پذیر باشند.
تبصره ۲-۱-۶: اگر K یک مجموعه محدب باشد آن‌گاه K محدب نیز است.
اثبات:
فرض کنیم x∈K و x=∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i 〗 که x_i∈K و a_i∈R^+ , ∑_(i=1)^n▒a_i^ =1. چون a_i≥۰ بنابراین a_i^*=a_i پس :
x=∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i 〗=∑_(i=1)^n▒〖√(a_i ) x_i √(a_i )〗=∑_(i=1)^n▒〖〖√(a_i )〗^* x_i √(a_i )〗
که x_i∈K و ∑_(i=1)^n▒〖〖√(a_i )〗^* √(a_i )〗=∑_(i=1)^n▒a_i =1. چون K محدب است لذا :
∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i 〗=∑_(i=1)^n▒〖〖√(a_i )〗^* x_i √(a_i )〗∈K.■
تبصره ۲-۱-۷: اگر K محدب باشد و x∈K به طوری که x∼y آن‌‌گاهy∈K.
اثبات:
فرض کنیم x=∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗 به طوری که x_i∈K و a_i∈A و ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=۱ اگر x∼y پس یکانی u∈A موجود است که y=u^* xu یعنی y=u(∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗)u^* در نتیجه :
y=∑_(i=1)^n▒〖ua_i^* x_i a_i u^* 〗=∑_(i=1)^n▒〖〖(a_i u^*)〗^* x_i (a_i u^*)〗
و
∑_(i=1)^n▒〖〖(a_i u^*)〗^* (a_i u^*)〗=∑_(i=1)^n▒〖ua_i^* a_i u^* 〗=u(∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗) u^*=uu^*=1 , a_i u^*∈A
حال چون K، محدب است پس y∈K.■
تبصره قبل نشان می‌دهد که مجموعه‌های محدب تحت هم‌ارزی یکانی، بسته هستند.
تعریف ۲-۱-۸: فرض کنیم A یک جبر یکانی باشد وx∈A، مدار یکانی x را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
O(x)={uxu^*=z (z∼x) : z∈A}
تعریف ۲-۱-۹: اگر A یک جبر باشد گوییم u∈A یکانی است هر گاهu^* u=uu^*=I. حال اگر u^* u=1 گوییم u طولپاست و اگر uu^*=1 گوییم u، هم‌طولپا است.
۲-۲: نقاط (-فرین) و – فرین:
تعریف ۲-۲-۱: نقطه x عضوK یک نقطه فرین برای K است اگر شرط ؛
x=∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗 , ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=۱
به طوری که n∈N و a_i∈A معکوسپذیر است، نتیجه دهد که همه x_i ها با x در A هم ‌ارز یکانی هستند.
طبق [۱۰] اگرK یک زیر مجموعه A=M_n≔M_n (C) باشد، نقاط فرین آن، نقاط فرین نیز هستند. اما عکس آن طبق مثال‌هایی از [۶] و [۸] درست نیست.
فرض کنیم x∈K , K⊆M_n یک نقطه فرین باشد. پس طبق تعریف اگر،
∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=۱ , x_i∈K , مثبت و پذیر معکوس a_i∈A))x=∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗
x_i ها و x هم‌ارز یکانی هستند. حال اگر فرض کنیم n=٢ نتیجه می‌شود که عناصر یکانی u_١ , u_٢ در A موجودند به طوری که :
x=u_٢ x_٢ u_٢^*=u_٢ u_٢^* x_٢=Ix_٢=x_٢ , x=u_١ x_١ u_١^*=u_١ u_١^* x_١=Ix_١=x_١
و b_١+b_٢=a_١^* a_١+a_٢^* a_٢=۱ پس x یک نقطه فرین است ولی همان‌طور که گفته شد عکس این مطلب برقرار نیست. چرا که طبق قضیه ۱۷-۲ از [۸]، T یک نقطه فرین از W_١ می باشد که فرین نیست. به طوری که W_١ محدب و محدب خطی است و به صورت :
W_١={ T :W(T)≤١}
تعریف می شود. این قضیه به صورت زیر می با شد.
قضیه ۲-۲-۲: فرض کنیم T یک نقطه فرین خطی غیراسکالر از W_١ باشد و W(T)، دایره یکه را در دقیقاً یک نقطه قطع کند به طوری که در کوچکترین قطر W(T) قرار گرفته و دایره یکه، دایره بوسان W(T) در این نقطه است. آن‌گاه T یک نقطه فرین در W_١ نیست.
تعریف ۲-۲-۳: فرض کنیم x∈K و K یک زیر مجموعه محدب در- جبر A باشد. گوییم x یک نقطه A-فرین برایK است هرگاه شرط :
(۲-۲ )a_i∈Aدر A معکوس‌پذیر و مثبت‌اند و x_i∈K و x=∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i a_i 〗 : ∑_(i=1)^n▒a_i^٢ =۱
نتیجه دهد که ∀i a_i x=xa_i , x_i=x.
قبل از اینکه نکات و مثال هایی از نقاطفرین و -A فرین را مطرح کنیم، تجزیه قطری و طولپای جزئی را از بیان خواهیم کرد.
قضیه ۲-۲-۴: یک طولپای جزئی یک عملگر چون w است به طوری که برای هر h عضو〖Ker w〗^⊥، به طوری که فضای〖(Ker w)〗^⊥ را فضای ابتدایی w و فضای(ran w) را فضای پایانی w می‌نامیم.
قضیه ۲-۲-۵: اگر T یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت H باشد. طولپای جزئی V با فضای ابتدایی ((ran T^*)) ̅(=〖(Ker V)〗^⊥) و فضای پایانی (ran T) موجود است به طوری که T=V〖(TT^*)〗^(١/٢)=〖(TT^*)〗^(١/٢) V . اگر T=WS که S مثبت و W یک طولپای جزئی با فضای ابتدایی (ran S) باشد آن گاه 〖(T^* T)〗^(١/٢)=S و W=V. اگر نه T و نه T^* بردارهای غیر صفر را صفر نکنند آن گاه V یک عملگر یکانی است.
اثبات: ]۹[ قضیه ۲-۱-۶.
قابل ذکر است که ,|T|=〖(TT^*)〗^(١/٢) V^* T=|T| Ker T=Ker V.
نکته ۲-۲-۶: فرض کنیم T=V|T| معکوس پذیر باشد در این صورتV یکانی است. زیرا وقتی T معکوس پذیر باشد T^* نیز معکوس پذیر است (〖(T^*)〗^(-۱)=〖(T^(-1))〗^*) لذا نه T و نه T^* هیچ بردار غیر صفر را صفر نمی‌کنند پس بنا به قضیه ۲-۲-۵، V یک عملگر یکانی است.
تبصره ۲-۲-۷: در شرط (۲-۲) از تعریف نقاط A- فرین، کافی است تنها حالت n=٢ را بررسی کنیم. چون اگر در حالت n=٢ بر قراری شرط (۲-۲)، -A فرین بودن یک نقطه را نتیجه دهد آن‌گاه در حالت کلی n نیز چنین است. برای نشان دادن این مطلب فرض کنیم در حالت n=٢ شرط (۲-۲) برقرار است و نتیجه میدهد ،a_٢ x=xa_٢ , a_١ x=xa_١ , x=x_١=x_٢. قرار می‌دهیم، a=〖(a_٢ , …, a_n)〗^T , y=⨁_(j=٢)^n x_j. فرض کنیمa=u|a| یک تجزیه قطری برای ستون a باشد لذا :
a^*=〖(u|a|)〗^*=〖(u〖(a^* a)〗^(١/٢))〗^*=〖(〖(a^* a)〗^(١/٢))〗^* u^*=〖(a^* a)〗^(١/٢) u^*=|a|u^*
چون طبق قضیه ۶-۲-۴ از ، و ریشه دوم آن مثبت هستند پس خود الحاق می‌باشند بنابراین در شرط (۲-۲) به دلیل مثبت بودن ها و در نتیجه a نتیجه می شود که :
x=a_١ x_١ a_١+…+a_٢ x_٢ a_٢=a_١ x_١ a_١+…[a_٢^* x_٢ a_٢+…+a_n^* x_n a_n]
=a_١ x_١ a_١+[(a_٢^* … a_n^* )+⊕_(i=٢)^n x_(i ) ■(a_٢@⋮@a_n ) ]=a_١ x_١ a_١ [ ■(a_٢@⋮@a_n )^( *) y ■(a_٢@⋮@a_n ) ]
=a_١ x_١ a_١+[((a_٢ … a_n )^T )^* y (a_٢ … a_n )^T ]=a_١ x_١ a_١+[a^* ya]
=a_١ x_١ a_١+|a| u^* yu|a|=a_١ x_١ a_١+|a|(u^* yu)|a|
از طرفی :
〖|a|〗^٢=〖(〖(a^* a)〗^(١/٢))〗^٢=a^* a=(a_٢^* … a_n^* ) ■(a_٢@⋮@a_n )
پس :
〖|a|〗^٢=a_٢^* a_٢+…+a_n^* a_n
همچنین |a|=√(۱-a_١^* a_١ ). چون a_١ معکوس پذیر است a_١^* a_١ وa_١^* نیز معکوس پذیرند و در نتیجه |a| نیز معکوس پذیر است. بنا بر این اگر u^* yu∈Kچون،
〖|a|〗^٢+a_1^2=a_١^۲+a_٢^* a_٢+…+a_n^* a_n=a_١^٢+…+a_n^٢=۱
و a_١ و |a| مثبت و معکوس پذیرند لذا طبق فرض چون برقراری شرط (۲-۲)، -A فرین بودن x را نتیجه می‌دهد پسa_١ x=xa_١ , x=x_١. اکنون اگر همین روش را برای i=١,…,n ادامه دهیم خواهیم داشت :
x=x_١=…=x_n a_١ x=xa_١ ,…, a_n x=xa_n
(در این حالت قرار می‌دهیم ((a=(a_١,a_٢,…,a_n )^T ) , y=x_١+(⨁_(i=٣)^n x_i ).
اما دلیل اینکه u^* yu∈K به این ترتیب است که :
a=u|a|=u(√(١-a_١^* a_١ ))
⟹u=a(〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١) ) ⟹ u=〖(a_٢ 〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١) , …. , a_n 〖√(١-a_١^* a_١ )〗^(-١))〗^T
⟹u^*=(a_٢^* 〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١) ,…, a_n^* 〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١))
⟹u^* yu=〖(١-a_١^* a_١)〗^(-١) (a_٢^* x_٢ a_٢+…+a_n^* x_n a_n)∈K
چونK، محدب است و
x_١,…,x_n∈K , ∑_(i=٢)^n▒〖〖(١-a_١^* a_١)〗^(-١) (a_i^* a_i)〗=〖(١-a_١^* a_١)〗^(-۱) (١-a_١^* a_١ )=١
و a_iها (i=1,…,n) معکوس پذیر و مثبت اند در نتیجه :
〖(١-a_١^* a_١)〗^(-١) (a_٢^* x_٢ a_٢+…+a_n^* x_n a_n)∈K■
تبصره ۲-۲-۸: هر نقطه -A فرین یک نقطه فرین است.
اثبات:
فرض کنیم x∈K و A-فرین باشد طبق تبصره ۲-۲-۷ کافی است شرط (۲-۲) درحالت n=2 برقرار باشد لذا :
x=a_١^* x_١ a_١+a_٢^* x_٢ a_٢ , a_١^* a_١+a_٢^* a_٢=۱ , هستند پذیر معکوس a_١,a_٢
در شرط (۲-۲) a_١,a_٢ مثبت هستند و a_١^*=a_١ , a_٢^*=a_٢ پس شرط (۲-۱) برقرار است و طبق -Rفرین بودن x، a_١ x=xa_١ , a_٢ x=xa_٢ , x=x_١=x_٢. اکنون با در نظر گرفتن u_١=u_٢=I به عنوان عملگرهای یکانی نتیجه می شود که :
x=x_١=I^* x_١ I=u_١^* x_١ u_١ ⟹ x∼x_١
x=x_٢=I^* x_٢ I=u_٢^* x_٢ u_٢ ⟹ x∼x_٢
پس x یک نقطه فرینC^* است.■
تبصره ۲-۲-۹: اگر A یک جبر جابجایی باشد، هر نقطه -A فرین (و هر نقطه فرین ) یک نقطه فرین است ولی در حالت کلی تنها نقاط -A فرین، فرین هستند و نقاط فرین لزوماً فرین نیستند.
اثبات:
طبق تبصره ۲-۲-۸ هر نقطه -A فرین، فرین است پس کافی است نشان دهیم در صورت جابجاییA، هر نقطه ی فرین، فرین است.
فرض کنیم x∈K⊆A یک نقطه ی فرین باشد و x=b_١ x_١+b_٢ x_٢ به طوری که :
x=b_١+b_١=١ (b_١,b_٢∈R^+ )
چونx فرین است شرط (۲-۱) نتیجه می‌دهد که :
∃u_١,u_٢∈A , هستند همانی u_١,u_٢ و x=u_١^* x_١ u_١ , x=u_٢^* x_٢ u_٢
هم چنین∈A u_١,u_٢,x_١,x_٢ A وجابجایی است بنابراین :
x=u_٢^* u_٢ x_٢ , x=u_١^* u_١ x_١
پس :
x=u_١^* u_١ x_١=Ix_١=x_١ , x=u_٢^* u_٢ x_٢=Ix_٢=x_٢
لذا x، فرین است

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید