B(H ̃) باشد که H ̃ جمع مستقیم n کپی H_b از H(وقتی جبر فون نویمان R روی فضای هیلبرت H عمل می کند)_n-امین جمع مستقیم H با خودش_است یعنی n⨂B همان M_n (B) ،جبر فون نویمان ماتریسی شامل ماتریس های n×n با درایه های در B است و دوماً طبق] ۹[ صفحه ۴۲۹ پاراگراف قبل از لم ۶-۶-۳ و طبق این فرض که A≅M_n می توان ماتریس های یکه و n×n ، E_ij را که درایه های واقع در سطر i ام و ستون j ام ان ها ۱ و بقیه درایه ها صفر هستند، در A انتخاب کرد به طوری که خانواده ی 〖(E_ij)〗_(i,j=١,…,n) دارای خواص زیر است :
١) {█(E_ij E_kl=0 j≠[email protected]_ij E_jk=E_ij )┤
٢)∑_(i=1)^n▒E_ii =I
٣) E_ij^*=E_ij
به این خانواده، یک دستگاه خود الحاق می گوییم.
اکنون طبق ] ۹[ لم ۶-۶-۲، چون R یک جبر فون نویمان است که روی فضای هیلبرت H عمل می کند و A جبر به وجود امده از دستگاه خود الحاق 〖(E_ij)〗_(i.j=1,…,n) است لذا A’ شامل همه ی ان عناصر B(H) می باشد که با تمام E_ij ها (یعنی با تمام عناصرA ) جا بجا می شود. بنا بر این B=A’∩R یک زیر جبر از R شامل همه ی عناصری از R است که با عناصر مذکور جا بجا می شوند. لذا، φ:R→M_n (B) با تعریف زیر ،
∀ T∈R φ(T)=〖[T_ij]〗_(i,j=1,…,n)=[〖∑_(k=1)^n▒〖E_ki TE_jk 〗]〗_(i,j=1,…,n) , ∑_(k=1)^n▒〖E_ki TE_jk 〗 〖□(→┴SOT ) T〗_ij
یک *-ایزومورفیسم از R به M_n (B) است در نتیجهR≅M_n (B) .
از آنجایی که R≅M_n (B) بنابراین نمایش π از B به روی فضای هیلبرت H وجود دارد به طوری که K=H^n وσ هم ارز یکانی π_n:M_n (B)→M_n (B(H)) است به طوری که :
π_n ([b_ij ])=[π(b_ij )] ∀ [b_ij]∈M_n (B)
چون، φ:R→M_n≅Aیک نگاشت یکانی کاملاً مثبت و B=R∩A’⊆R در نتیجه φ:M_n→B یک نگاشت یکانی کاملاً مثبت است لذا طبق نمایش اشتاین اسپرینگ فضای هیلبرت H موجود است به طوری که :
π یک نمایش (*- همومورفیسم)است : ∃ π:B→B(H)
V_١یک طولپا است〖∃ V〗_١:C^n→H : φ(b)=V_١^* π_١ (b) V_١,
اما طبق تعریف۱-۲-۶ چون π:B→B(H) یک *-همومورفیسم است، لذا
π_n:M_n (B)→M_n (B(H)) نیز یک *-همومورفیسم است و طبق مطلبی در ادامه تعریف ۱-۲-۶ نگاشت f:M_n (B(H))→B(H^n ) یک ایزمورفیسم است پس M_n (B(H))≅B(H^n ) (با تعریف f(u)(x_١ … x_n )=(∑_(j=1)^n▒〖u_1j (x_j ) 〗,…,∑_(j=1)^n▒〖u_nj (x_j ) 〗) وقتی u∈M_n (B(H))(. در واقع چون φ:R→M_n یک نگاشت یکانی کا ملاً مثبت است طبق قضیه ی اشتاین اسپرینگ نمایش π_n:R→B(H^n ) و طولپایV_٢:C^n→H^n موجودند که ∥φ(١)∥=〖∥V_٢∥〗^٢. همچنین ∀ r∈R φ(r)=V_٢^* π_n (r) V_٢. در نتیجه φ:R→M_n یک نگاشت یکانی کاملاً مثبت است و توابع π_n:R→B(H^n ) , σ:R→B(K) نمایش‌های روی R هستند و توابع V_١:C^n→H^n و
V:C^n→K، طولپا می باشد. لذا طبق گزاره ۱-۴-۵ تابع یکانی U:K→H^n وجود دارد که UσU^*=π_n , UV=V_٢. یعنیσ با π_nهم ارز یکانی است و UV=V_٢. بنابراین K≅H^n. (در این جا منظور از K=H^n همان K≅H^n است).
همچنین π_n ([b_ij ])=[π(b_ij )] برای هر [b_ij]∈M_n (B) و این تعریف، خوش تعریف است. چون اگر فرض کنیم [a_ij ], [b_ij]∈M_n (B) به طوری که [a_ij ]=[b_ij] آن‌گاه برای هرiوj ای a_ij=b_ijکه به دلیل خوش تعریفی π، π(a_ij )=π(b_ij) در نتیجه [π(a_ij )]=[π(b_ij )] لذا :
π_n ([b_ij ])=[π(b_ij )]=[π(a_ij )]=π_n ([a_ij ])
اکنون فرض کنیم برای j=1,…,n، ε_(j ) بردارهای پایه استاندارد در C^n باشند و قرار می‌دهیم Vε_j=ξ_j∈H^n. فرض می‌کنیم y_ij∈C درایه‌های y باشند که φ(x)=y∈M_n=B(C^n)
ان گاه :
y_ij= =φ(x) ε_j, ε_i==
=π_n (x) ξ_j, Vε_i=π_n (x) ξ_j, ξ_i ( ۳-۱)
ابتدا فرض کنیم σ نمایشی تحویل ناپذیر است در نتیجه π نیز تحویل ناپذیر است. چرا که اگر فرض کنیم ۰≠V⊆H وجود دارد به طوریکه ∀ a∈R , π(a)V⊆V چون σ:R→B(K) یک نمایش است و K=H^n در نتیجه σ:R→B(H^n) یک نمایش است و π:B→B(H) یک نمایش تحویل پذیر یعنی :
σ(a)(V^n )=(π(a)V ,…, π(a)V)∈V^n⊆B(H^n)
که این مطلب با تحویل ناپذیری σ تناقض دارد. پسπ تحویل ناپذیر است.
همچنین اگر ξ∈H یک بردار یکه باشد آن‌گاه طبق قضیه تعدی کدیسون (قضیه ۳-۱-۱)، می‌توان گفت که عملگر یکانی u درR موجود است به طوری که :
π_n (u)(ε_j⨂ξ)=ξ_j j=1,…,n
به طوری که ε_j⨂ξ∈H^n یک برداریکه است که مؤلفه j ام آنξ و مولفه های دیگر آن می‌باشند. اکنون رابطه( ۳-۱) را به صورت زیر می‌توان نوشت :
y_ij=π_n (x) ξ_j, ξ_i =π_n (x) π_n (u)(ε_j⨂ξ), π_n (u)(ε_i⨂ξ)
=(π_n (u))^* π_n (x) π_n (u)(ε_j⨂ξ), ε_i⨂ξ
=π_n (u^* ) π_n (x) π_n (u)(ε_j⨂ξ), ε_i⨂ξ =π_n (u^* xu)(ε_j⨂ξ), ε_i⨂ξ
( ۳-۲ ) =π(〖(u^* xu)〗_ij )ξ, ξ =w((u^* xu)_ij )
〖(u^* xu)〗_ij درایه‌های u^* xu∈M_n (B) در سطر i ام و ستون j ام بوده وw یک حالت روی B با تعریف زیر است :
w:B→C : ∀ b∈B w(b)=π(b)ξ, ξ
در رابطه ی (۳-۲) علت تساوی π_n (u^* xu)(ε_j⨂ξ), ε_i⨂ξ =π(〖(u^* xu)〗_ij )ξ, ξ به این صورت است که :
π_n (u^* xu)(ε_j⨂ξ)=π_n (u^* xu)(0,…,۰,ξ,۰,…۰)
بنابراین چون u^* xu∈M_n (B) پس برابر است با [〖(u^* xu)〗_ij] و در نتیجه طبق تعریفπ_n ([b_ij ])=[π(b_ij )] داریم :
π_n (u^* xu)(ε_j⨂ξ), ε_i⨂ξ =π_n (u^* xu)(0,…,۰,ξ,۰,…,۰), (۰,…,۰,ξ,۰,…,۰)
=π_n [(〖u^* xu)〗_ij )](0,…,۰,ξ,۰,…,۰) , (۰,…,۰,ξ,۰,…,۰)
=[π((u^* xu)_ij )] (0,…,۰,ξ,۰,…,۰)^T, (0,…,۰,ξ,۰,…,۰)^T
=■(π(〖(u^* xu)〗_ij )ξ@⋮@π(〖(u^* xu)〗_ij )ξ) , (O,…,۰,ξ,۰,…,۰)^T
□(→┴(۴-٢-١) )=π((u^* xu)_ij )ξ, O+…+π((u^* xu)_ij )ξ, ξ+…+
π((u^* xu)_ij )ξ, ۰ =π((u^* xu)_ij )ξ, ξ
⟹y_ij=w(〖(u^* xu)〗_ij)
اکنون نشان می دهیم که w یک حالت است. چون روی H خوش تعریف است پس w نیز خویش تعریف می‌باشد از طرفی اگر بتوانیم نشان دهیم w یک تابعک خطی کراندار است که w(I)=∥w∥=١ آن‌گاه طبق ، گزاره ۲-۳-۴، یک حالت است.
فرض کنیم U یک همسایگی اطراف w(b) در C باشد که به ازای هر ، b^’∈B
∃ δ۰ : ∥b^’-b∥δ
لذا :
∥w(b^’ )-w(b)∥=∥(π(b^’ )-π(b))ξ, ξ∥
اما چون π یک *- همومورنیسم است، طبق، گزاره ۸-۱-۴، π نیز پیوسته است (در این همسایگی) در این صورت ∥π(b^’ )-π(b)∥→۰ پس π(b^’ )-π(b)→۰ بنابراین :
(π(b^’ )-π(b))ξ, ξ→۰
در نتیجه :
∥w(b^’ )-w(b)∥→۰
لذا w(b^’)∈U پس w پیوسته است. از طرفیw خطی است چون :
w(b+b^’ )=π(b+b^’ )ξ, ξ =(π(b+b^’ ))ξ, ξ =π(b)ξ+π(b^’ )ξ, ξ
=π(b)ξ,ξ+π(b^’ )ξ ,ξ= w(b)+w(b^’)
هم چنین :
w(I)=π(I)ξ, ξ = ١.ξ , ξ = ξ ,ξ =〖∥ξ∥〗^٢=١
اکنون با مشخص کردن تابع w_n:M_n (B)→M_n (القا شده توسطw) در نتیجه :
w(〖(u^* xu)〗_ij )=y_(ij ) ⟹ w[u^* xu]=[y_ij ]=y
لذا نتیجه می شود که :
∀ z=u^* xu w_n (z)=y
از طرفی :
〖CO〗_R (z)={∑_(J=1)^n▒〖a_j^* za_j 〗 : a_j∈A , ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١ , n∈N}
={∑_(j=1)^n▒〖a_j^* (u^* xu)a_j 〗 : a_j∈A , ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١}
={∑_(j=1)^n▒〖〖(ua_j)〗^* x(ua_j)〗 : ua_j=b_j∈A , ∑_(j=1)^n▒〖b_j^* b_j 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* u_j^* a_j u_j 〗=١}
=〖CO〗_R (x)
بنابراین (〖CO〗_R ) ̅(x)=(〖CO〗_R ) ̅(z). پس کافی است نشان دهیمy∈(〖CO〗_R ) ̅(z) که چونy∈A آن‌گاه y∈A∩(〖CO〗_R ) ̅(x) و حکم ثابت می‌شود.
فرض کنیم ε۰ از ان جایی که w، یک حالت محض است (چون طبق تعریف۱-۵-۶ قسمت (۱) نمایشφ_w:B→B(H_w ) تحویل ناپذیر است. چون π:B→B(H) تحویل ناپذیر‌است و φ_w توسط π القا می شود. هم چنین w(z_ij )=y_ij وقتی که z_ij ها درایه‌های z هستند بنابراین طبق لم ۳-۱-۲ عنصر مثبت e(=hh^*) درB موجود است به طوری که :
(i,j=1,…,n) ∥e^* (z_ij-w(z_ij )e∥ε , ١=∥e∥(=∥hh^*∥=〖∥h∥〗^٢)
چون e^*=〖(hh^*)〗^*=hh^*=e , w(z_ij )=y_ij پس :
∥e(z_ij-y_ij )e∥ε i,j=1,…,n ( 3-3 )
حتی اگر را با یک تصویر طیفی مناسب e در R، جابجا کنیم می‌توان فرض کرد که e خود یک تصویر است (با دانستن این مطلب که B یک جبر فون نویمان است و جزئیات اثبات قضیه ۳-۲ از [۱۱]، این مطلب نشان داده‌شده‌است) حال از آن جایی که B یک عامل است، خانواده‌ای از طول پاهای جزئیu_k∈B موجودند به طوری که ∑_k▒〖u_k^* u_k 〗=١ و u_k^* u_k≤١. چون که B یک عامل است و مرکز آن مجموعه ی {λI : λ∈C} می باشد هم چنین C_e طبق تعریف ۱-۳-۸ عضو این مجموعه است پس ∃ λ∈C : C_e=λI. از طرفی طبق تعریف ۱-۳-۸، C_e e=e پس باید e=λe لذا λ=١ وC_e=I. به همین ترتیب C_I=I در نتیجه C_I=C_e.
اکنون طبق گزاره ۱۲-۳-۶ از [۹] چونB عامل است و C_I=C_e، تصویرهایی هم ارز با e چون P_k موجودند به طوری که I=∑_k▒P_k و چون P_k یک تصویر است لذا طبق گزاره ۱-۱-۴ خانواده‌ای از طولپاهای جزئی {u_k} در B موجودند به طوری که P_k=u_k^* u_k. در نتیجه طبق تعریف هم ارزی P_k با e،I=∑_k▒〖u_k^* u_k 〗 و u_k^* u_k≤e. اکنون رابطه ( ۳-۳ ) به صورت زیر تبدیل می‌شود :
∥u_k^* u_k (z_ij-y_ij ) u_k^* u_k∥≤∥e(z_ij-y_ij )e∥ε ( ۴-۳ )
پس چون ∑_k▒〖u_k^* u_k 〗=I نتیجه می شود که :
∥∑_k▒〖u_k^* z_ij u_k 〗-y_ij∥=∥∑_k▒〖u_k^* z_ij u_k 〗-Iy_ij∥=∑_k▒〖u_k^* z_ij u_k 〗-(∑_k▒〖u_k^* u_k 〗) y_ij∥
=∥∑_k▒〖u_k^* z_ij u_k 〗-(∑_k▒〖u_k^* u_k y_ij 〗)∥□(→┴(١-٢بخش) )=∥∑_k▒〖u_k^* z_ij u_k 〗-∑_k▒〖u_k^* y_ij u_k 〗∥
=∥∑_k▒〖(u_k^* z_ij u_k-u_k^* y_ij u_k 〗∥=∥∑_k▒〖u_k^* (z_ij-y_ij)u_k 〗∥
از طرفی :
u_k^* (z_ij-y_ij)u_k≤u_k^* u_k (z_ij-y_ij)u_k^* u_k≤e(z_ij-y_ij )e
∥∑_k▒〖(u_k^* (z_ij-y_ij)u_k)〗∥≤∑_k▒e(z_ij-y_ij )e=e(z_ij-y_ij )e
∥∑_k▒〖u_k^* (z_ij-y_ij)u_k 〗∥≤e(z_ij-y_ij )eε
پس :
بنابراین اگر u_k^((n))∈M_n ماتریس‌های قطری باشند که u_k ها روی قطر اصلی آن هستند آن‌گاه :
∥∑_k▒〖u_k^(*(n)) zu_k^((n)) 〗-y∥≤nε
که این فاصله از (〖CO〗_R ) ̅(x)=(〖CO〗_R ) ̅(z) تقریباً برابر صفر است (چونε۰ ) بنابراین y∈(〖CO〗_R ) ̅(x) چون :
= ■(∑_k▒〖u_k^* u_k 〗&&۰@&⋱&@۰&&∑_k▒〖u_k^* u_k 〗) =∑_k▒〖u_k^(*(n)) u_k^((n)) 〗 I= ■(١&&۰@&⋱&@۰&&١)
پس ∑_k▒〖u_k^(*(n)) zu_k^((n)) 〗∈(〖CO〗_R ) ̅(z).
اکنون یک شرایط کلی‌تر را در نظر می‌گیریم یعنی وقتی که σ جمع مستقیم

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید