گیریم یعنی وقتی که σ جمع مستقیم خانواده ای از نمایش‌های تحویل ناپذیر σ_k:R→B(K_k) است. آن‌گاه با توجه به تجزیه V ، K=⨁_k K_k را می‌توان به فرم V=(V_k) نشان داد (یعنی یک بردار ستونی که ممکن است نامتناهی نیز باشد) که هرV_k∈B(C^n , K_k) و یک تجزیه قطری به شکل V_k=u_k |V_k | دارد که |V_k |=√(V_k^* V_k ) به طوری که u_k∈B(C^n , K_k) طولپا است. این امر ممکن است چون اگر R نامتناهی البعد باشد ان گاه dim⁡〖K_k≥n〗. در واقع اگر dim⁡〖K_k
در این ضرب داخلی روی عمل می‌کند چون و وقتی α→۰=P^⊥ P ان گاه w→a_1^(-2)بنابراین :
چون برای hهایی که عضو هستند برابر است.
اکنون از پیوستگی u و تساوی x=〖u(α)〗^* (y⨁x_1 )u(α)) (α∈(۰,۱]) نتیجه می شود که :
x=lim┬(α→۰)⁡〖〖u(α)〗^* (y⨁x_١ )u(α)〗=lim┬(α→۰)⁡〖(〖P^⊥〗^* P^* )(y⨁x_١ ) ■(P^⊥@P)〗=P^⊥ yP^⊥+Px_١ P
جایی که همگرایی در توپولوژی عملگر قوی () است. لذا :
پس اگر تحول ناپذیر باشد در نتیجه :
که جابجاگر است.
از طرفی چون و P∈C^’ پس باید یک اسکالر باشد. چون و P:H→(ran a_١ ) ̅ پس لذا :
∃ λ∈C : P=λ≠۰
اما چون پس و در نتیجه . ■
در [۱۱] اثبات شده که هر زیرمجموعه محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی از عامل ، شاملها (λ∈C) به عنوان نقاط فرینش است (البته در حالت طبق [۴] قضیه۱، ثابت شده که اگر فشرده و محدب باشد آن گاه نقاط -فرینش همان اسکالرها هستند بنابراین بدون کاسته شدن از کلیت می‌توان فرض کرد که .
۴- ۲: تراکم به وقتیk≤n:
تعریف ۴- ۲- ۱: فرض کنیم برای هر k≤n، یک تصویر متعامد پوشا به اولین k مختص‌ها باشد یعنی که . قرار می‌دهیم و با مشخص کردن ، K_k را به عنوان زیرمجموعه در نظر می‌گیریم. بنابراین برای هر x∈M_n، P_k xP_kتراکم به است. همچنین K_k تراکم از به است.
برای هر تعریف می‌کنیم . لذا به طوری که و .
گزاره ۴- ۲- ۲: فرض کنیم یک مجموعه ی محدب باشد و تراکم آن به باشد. بنابراین محدب است. اگر فشرده باشد آن‌گاه نیز فشرده است.
حتی اگر آن‌گاه .
قبل از اثبات این گزاره خاطرنشان می‌کنیم که در [۱۲] منظور ازP_nk، است و چون طبق گزاره ۱- ۱- ۳، پس از همین حالا به جای از و به جای از P_k استفاده می‌کنیم لذا تعریف ۴- ۲- ۱ منطبق بر تعریف آمده در [۱۲] است.
اثبات گزاره ۴- ۲- ۲:
فرض کنیم یک ترکیب محدب عنصر از باشد. چون و تراکم پس :
فرض کنیم بنابراین :
فرض کنیم . چون و S محدب C^* است . بنابراین :
که چون نمایش در به صورت است در نتیجه تساوی اخیر برابر است با :
پس محدب است.
اکنون فرض کنیم فشرده باشد. ابتدا نشان می دهیم که تابع تراکم، یک *- همومورفسیم است. فرض کنیم تابع تراکم از M_n به M_k باشد به طوری که :
آنگاه :


(۳f(xy)=P_k xyP_k=P_k xP_k^(-١) P_k yP_k=(P_k xP_k^(-١) )(P_k yP_k )
=(P_k xP_k )(P_k yP_k )=f(x)f(y) ∀ x,y∈M_n
تساوی (۳) به این دلیل است که پس . لذا طبق قضیه ۸- ۱- ۴ از [۹] ، پیوسته است و چون تابع پیوسته هر مجموعه ی فشرده را به فشرده می‌نگارد پس نیز فشرده است.
اکنون فرض کنیم لذا به ازای هرx ̃∈S، x ̃=∑_i▒〖t_i^* g_i t_i 〗که هم چنین فرض کنیم به طوری که . یکانی‌های را انتخاب می‌کنیم به طوری که :
∃s_i=u_i t_i ١_k∈M_k : u_i t_i P_k=u_i t_i (■(١_k&0@0&0))=(■(u_i t_i ١_k&0@0&0))=(■(s_i&0@0&0))
بنابراین :
∑_i▒〖s_i^* s_i 〗=∑_i▒〖P_k^* t_i^* u_i^* u_i t_i P_k 〗=P_k^* ∑_i▒〖t_i^* t_i 〗 P_k=P_k ١_k P_k=١_k
لذا :
x=P_k x ̃P_k=∑_i▒〖P_k t_i^* g_i t_i P_k 〗=∑_i▒〖P_k t_i^* u_i^* (u_i g_i u_i^*)u_i t_i P_k 〗=∑_i▒〖(■(s_i^*&0@0&0)) u_i g_i u_i^* (■(s_i&0@0&0)) 〗=∑_i▒〖s_i^* (■(١_k&0@0&0))(u_i g_i u_i^*)(■(١_k&0@0&0)) s_i 〗=∑_i▒〖s_i^* P_k (u_i g_i u_i^*)P_k s_i 〗
که در این مجموع ١_k=∑_i▒〖s_i^* s_i 〗 و در نتیجهعضو است.■
گزاره۴-۲-۳: فرض کنیم محدب باشد ویک ترکیب محدب ازها باشد آن‌گاه توسط ترکیب کردن جملات () می‌توان y∈Sو r∈M_n را پیدا کرد به طوری کهرا به عنوان ترکیبمحدب عناصر S با تنها دو جمله به صورت باز نویسی کرد.
در این گزاره به صورت تعریف می‌شود به طوری که

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید