ش توسط ریاضیدان روسی بوریس گالرکین ۲۰ایجاد شده اما این کشف توسط ریاضیدان سوئیسی والتر ریتز، به گالرکین نسبت داده شد. اغلب در هنگام اشاره به یک روش گالرکین، یک نام همراه با روش تقریب معمولی استفاده می شود، مانند روش( بوبنو۲۱ -گالرکین) ، روش پترو۲۲-گالرکین و یا روش ریتز۲۳ -گالرکین که بترتیب توسط بوبنو و پترو و ریتز این روش گسترش یافتند.
نمونه هایی از روش گالرکین عبارتند از:
• روش گالرکین باقیمانده های موزون، رایج ترین روش محاسبه ماتریس در روش المان محدود
• روش المان مرزی برای حل معادلات انتگرال
• روش زیرفضا کریلوف ۲۴
گالرکین یک روش تقریبی برای حل معادلات دیفرانسیل غیر خطی است. این روش یک روش وزنی بر پایه باقی مانده ها است، و بر این اصل عمل می کند که مقدار باقی مانده های حل را به کمترین مقدار کاهش می دهد تا نتایج بدست آمده به جوابهای حل دقیق بسیار نزدیک شود.
فرض کنید اپراتور بر تابع اثر گذاشته و مقدار بدست آمده است:
(‏۲۱)
برای حل معادله دیفرانسیل بالا تابع دلخواه u را که متشکل از تعدادی ثابت است تعریف می کنیم. همچنین این تابع باید بتواند شرایط مرزی مسأله را ارضاء کند.
(‏۲۲)
حال وقتی u را در داخل اوپراتور دیفرانسیل D قرار دهیم، مطمئنا مقداری که به ما می دهد برابر با مقدار نخواهد بود. پس در نتیجه ما مقداری باقی مانده خواهیم داشت:
(‏۲۳)
می دانیم باقی مانده RRRxx دارای ثابتهای تابع u uuxxاست برای بدست آوردن این ثابتها از RRRxxx و توابع وزن بر حوزهح محاسبات، انتگرال می گیریم:
(‏۲۴)
که در آن تابع تابع وزن است و با مشتق گیری از نسبت به بدست می آید.
(‏۲۵)
حال تعداد معادلات بدست آمده با تعداد ثابتها برابر خواهد شد و به سادگی مقادیر این ثابتها بدست می آیند. همچنین با قرار دادن مقدار این ثابتها در تابع با توجه به معادله(‏۲۲) بدست خواهد آمد.
۲-۱-۲ کارهای انجام شده با روش گالرکین:
گنجی و همکاران [۲۲]۱توزیع دما و بازده فین مستطیل شکل را با این روش تحلیل کردند.و تاثیر پارامترهایی چون افزایش طول و ضریب هدایت رسانندگی را بررسی کردند و نتایج را با حل عددی مقایسه کردند.
آندرج هروات ۲۵و همکارش[۲۳] به حل مسئله انتقال حرارت در فین ها با تولید گرمای داخلی پرداخته و تاثیر ضریب پسا و عدد ناسلت را با تغییر عدد رینولدز بررسی کردند.
۲-۲ روش کالوکیشن۲۶:
۲-۲-۱ تعریف:
برای حل معادله دیفرانسیل با این روش تابع دلخواه u را که متشکل از تعدادی ثابت است تعریف می کنیم. همچنین این تابع باید بتواند شرایط مرزی مسأله را ارضاء کند. فرض کنید اپراتور بر تابع اثر گذاشته و مقدار بدست آمده است:
(‏۲۶)
(‏۲۷)
وقتی u را در داخل معادله اصلی قرار دهیم، مطمئنا مقداری که به ما می دهد برابر با مقدار نخواهد بود. پس در نتیجه ما مقداری باقی مانده خواهیم داشت:
(‏۲۸)
سپس بازه مورد نظر را به قسمت تقسیم کرده() و در تابع قرار می دهیم با این کار راه حل آزمایشی شامل ضریب نامشخص، نقاط مختلف می شود بنابراین معادلات جبری به طور همزمان برای تعیین ضریب بدست می آید. فرض اساسی این است که باقی مانده بین نقاط کالوکیشن خیلی از صفر دور نباشد )در مواقعی عینا برابر صفر است(و با حل دستگاه مقادیر بدست می آید.
با قرار دادن ثابت های بدست آمده در معادله(‏۲۷) تابع بدست می آید.
۲-۲-۲ کارهای انجام شده:
رحیمی و همکاران[۲۴] در زمینه مغناطیس عرضی در مسئله جفری – هامل ۲۷با نانو سیال مس-آب بین دو دیوار مسطح غیر موازی با استفاده با روش کانولیشن به مطالعه پرداختند و اثر عدد هارتمن و اصطکاک نانو ذرات را روی سرعت بررسی کردند.
گودرزی و همکاران[۲۵] با استفاده از روش کانولیشن به بهینه سازی فین مستطیلی شکل با ترکیب گرما و جرم پرداختند.
۲-۳ روش حداقل مربعات۲۸:
۲-۳-۱ تعریف:
روش حداقل مربعات روشی در آمار است که برای حل دستگاه معادلاتی به کار می‌رود.کمترین مربعات در واقع روشی برای برازش۲۹ داده‌ها است. در روش کمترین مربعات، بهترین مدل برازش‌شده بر مجموعه‌ای از داده‌ها تابع آزمایشی است که در آن مجموع مربع باقی مانده‌هاکمینه باشد. منظور از باقی مانده ها، اختلاف بین تابع آزمایش و مقداری که از مدل به دست می‌آید،می باشد.
فرض کنید اپراتور بر تابع اثر گذاشته و مقدار بدست آمده است:
(‏۲۹)
برای حل معادله دیفرانسیل بالا تابع دلخواه u را که متشکل از تعدادی ثابت است تعریف می کنیم. همچنین این تابع باید بتواند شرایط مرزی مسأله را ارضاء کند.
(‏۲۱۰)
حال وقتی u را در داخل اوپراتور دیفرانسیل D قرار دهیم، مطمئنا مقداری که به ما می دهد برابر با مقدار نخواهد بود. پس در نتیجه ما مقداری باقی مانده خواهیم داشت:
(‏۲۱۱)
می دانیم باقی مانده RRRxx دارای ثابتهای تابع u uuxxاست برای بدست آوردن این ثابتها از RRRxxx و توابع وزن در حوزهح محاسبات، انتگرال می گیریم:
(‏۲۱۲)
که در آن تابع وزن است و با مشتق گیری از نسبت به بدست می آید.
(‏۲۱۳)
حال تعداد معادلات بدست آمده با تعداد ثابتها برابر خواهد شد و به سادگی مقادیر این ثابتها بدست می آیند. همچنین با قرار دادن این ثابتها در تابع مقدار با توجه به معادله(‏۲۱۰) بدست خواهد آمد.
۲-۳-۲ کار انجام شده:
عزیز۳۰ و بوعزیز۳۱ [۶]در مورد فین های طولی با حرارت داخلی و ضریب هدایت وابسته به دما مطالعه کردند و در آن به تاثیر پارامتر ضریب هدایت حرارتی و گرمای تولید داخلی در توزیع دما پرداختند .
گنجی و حاتمی[۱۴] به مطالعه میکروکانال های حرارتی که بوسیله نانو سیال مس-آب خنک می شود با استفاده از روش حداقل مربعات پرداختند و در آن توزیع دما با توجه تغییرات عرض و تغییرات طول کانال بررسی کردند.
گنجی و همکاران جریان آرام و انتقال حرارت از نانو سیال بین دیسک دوار با استفاده از روش بدون شبکه حداقل مربعات را بررسی کردند و در آن به بررسی تاثیر عدد رینولدز بر دما پرداختند.
۲-۴ روش تبدیل دیفرانسیل۳۲:
۲-۴-۱ تعریف:
روش تبدیل دیفرانسیل یک روش تحلیلی است که بوسیله سری تیلور در یک وضعیت کلی بصورت فرمول در آمده است.با این روش ،معادله دیفرانسیلی و شرایط مرزی مرتبط با آن به یک معادله برگشتی تبدیل می شود که در نهایت به حل دستگاه معادلات جبری به عنوان ضریب یک راه حل سری توانی منجر می شود.
تابع تحلیلی در یک دامنه D در نظر بگیرید ، که در آن نشانه نقطه ای در آن است.
تابع است که توسط یک سری توانی در مرکز نشان داده شده است. بسط تیلور تابع مجموعه ای از که به صورت زیر است :
(‏۲۱۴)
جدول(‏۲۱) :تابع تبدیل دیفرانسیل[۲۶]
تابع تبدیل
تابع اصلی
جدول(‏۲۲):تابع تبدیل دیفرانسیل دو بعدی[۲۷]
تابع تبدیل
تاع اصلی
در حالت خاص از معادله(‏۲۱۴)بالا که است و به صورت بسط مکلورین از تابع بسط داده می شود:
(‏۲۱۵)
همانطور که توسط فرانکو بیان شده تبدیل دیفرانسیل تابع اینگونه تعریف می شود:
(‏۲۱۶)
که در آن تابع اصلی و تابع تبدیل دیفرانسیل می باشد.
طیف دیفرانسیلی در فاصله زمانی درحالی که ثابت است می باشد.
تابع معکوس تبدیل دیفرانسیل نیز بصورت زیر تعریف می شود:
(‏۲۱۷)
۲-۴-۲ کارهای انجام شده:
به تازگی ژو۳۳ ییشنهاد یک تکنیک، یعنی، روش تبدیل دیفرانسیل یک بعدی۳۴ برای حل مسائل مقادیر مرزی در معادلات دیفرانسیل معمولی را داده است.
روش تبدیل دیفرانسیل یک بعدی برای حل تعدادی از مدل های ناشی از انتقال حرارت حالت ثابت در فین به تصویب رسید
چن۳۵ و هو ۳۶روش تبدیل دیفرانسیل دو بعدی ۳۷برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بود ارائه کرده اند.
مویتشکی۳۸ و همکاران[۲۸] به بررسی چگونگی انتفال حرارت در فین های مستطیلی و محدب با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیل پرداختند و به بررسی پارامترهای موثر انتقال حرارت از جمله ضریب هدایت رسانندگی پرداختند.
رشیدی و همکاران مسئله از ترکیب انتقال حرارت جابه جایی را در یک سطح شیب دار که در یک محیط متخلخل جاسازی شده با روش تبدیل دیفرانسیل حل کردند و آنها از تقریب پد ۳۹برای همگرایی بیشتر استفاده کردند.
عباسو۴۰ و همکاران[۲۹] روش تبدیل دیفرانسیل را برای به دست آوردن راه حل های تقریبی معادلات غیر خطی مربوط به مسائل مهندسی به کار بردند و آنها نشان داد که راه حل های تحلیلی مطابقت خوبی با نتایج عددی دارد.
مرادی [۳۰]از روش تبدیل دیفرانسیل برای ویژگی حرارتی فین مستطیل شکل مستقیم برای تمام انواع انتقال حرارت )انتقال گرما و تابش) به کار برده است و نتایج آن را با روش های عددی مرتبه چهارم روش رانگ – کوتا با استفاده از روش عکسبرداری مقایسه کرده است.
کاندو۴۱ و همکاران[۳۱] برای پیش بینی عملکرد فین مثلثی و به طور کامل مرطوب از روش تبدیل دیفرانسیل استفاده کرده اند و آنها متوجه شده اند که عملکرد فین مرطوب تقریبا وابسته به رطوبت نسبی است.
۲-۵ روش تجزیه آدومیان۴۲:
۲-۵-۱ تعریف:
روش تجزیه آدومیان (ADM) یک روش نیمه تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل غیر خطی معمولی و جزئی است. این روش از سال ۱۹۷۰ به ۱۹۹۰ توسط جورج آدومیان، استاد مرکز ریاضیات کاربردی در دانشگاه جورجیا توسعه داده شد. همچنین توسعه به سیستم تصادفی و با استفاده از انتگرال ایتو جدایی ناپذیر است هدف از این روش یک نظریه واحد و یکپارچه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است.
ما یک معادله عمومی غیر خطی به صورت زیر در نظر می گیریم:
(‏۲۱۸)
که بزرگترین مرتبه مشتق بطوریکه به راحتی معکوس شود و قسمت خطی معادله دیفرانسیل که از مرتبه کمتر است و ترم غیر خطی و ترم منبع است.
با استفاده از عملگر برای هر دو طرف معادله ما داریم:
(‏۲۱۹)
تابع از ترم های بوجود آمده از انتگرال ترم منبع بیان می شود .
برای معادلات غیر خطی ، قسسمت غیر خطی را بصورت سری بی نهایت به نام سری آدومیان تعریف می کنیم.
(‏۲۲۰)
روش آدومیان تابع را بصورت سری زیر بیان می کند:
(‏۲۲۱)
در مورد یک سری بی نهایت تیلور در نقطه تعریف می شود:
(‏۲۲۲)
با توجه به معادله(‏۲۲۱) می

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید