است. فرض کنیم که فین در ابتدا در دمای محیط قرار دارد. در زمان درجه حرارت در پایه فین به طور ناگهانی از به تغییر می کند.
و مسئله این است که برای ایجاد توزیع دما در فین برای همه است. بر اساس انتقال حرارت یک بعدی،
معادله تعادل انرژی اینگونه است:
(‏۳۹۰)
که در آن وضریب هدایتی و ضریب انتقال حرارت غیر یکنواخت حرارتی وابسته به درجه حرارت[۴۸] ، چگالی، ظرفیت گرمایی ویژه ، توزیع دما، زمان و متغیر فضا است.
با فرض این که نوک فین بی دررو است (عایق) و درجه حرارت پایه ثابت در نظر گرفته شده است شرایط مرزی اینگونه داده شده است:
(‏۳۹۱)
در ابتدا فین در دمای محیط نگه داشته می شود.
(‏۳۹۲)
متغیرهای بی بعد زیر را تعریف می کنیم:
(‏۳۹۳)
بنابراین معادله بصورت زیر کاهش می یابد:
(‏۳۹۴)
شرایط مرزی را نیز بی بعد می کنیم:
(‏۳۹۵)
(‏۳۹۶)
و شرط داخلی بصورت زیر می باشد:
(‏۳۹۷)
متغیربی بعد پارامتر فین حرارتی هندسی، متغیر بی بعد درجه حرارت ، متغیر بی بعد فضا ، ضریب هدایت حرارتی بی بعد ، ضریب انتقال حرارت از فین در دمای محیط و ضریب انتقال حرارت در پایه فین است.
برای بسیاری از کاربردهای صنعتی، ضریب انتقال حرارت به صورت توان داده می شود[۴۹]
(‏۳۹۸)
که و ثابت های مدل هستند و می تواند در بازه ۶.۶- تا ۵ تغییر کند. توان نشان دهنده تراکم و یا ورقه های نازک فیلم جوش()،انتقال حرارت همرفت طبیعی آرام ))، انتقال حرارت طبیعی آشفته ()جوش هسته ای() و انتقال حرارت تابشی() توصیف می کند.
همچنین ضریب هدایت حرارتی بصورت خطی با دما وابسته است.
(‏۳۹۹)
فرم بی بعد ضریب انتقال حرارت و ضریب هدایت حرارتی خواهد شد:
(‏۳۱۰۰)
,
بنابراین معادله کلی بصورت زیر خواهد شد:
(‏۳۱۰۱)
که حالت بی بعد پروفیل فین است.
۴ فصل چهارم
نٟٟتایج و بحث
۴-۱ فین با ضریب هدایتی وابسته
برای حالت ضریب هدایتی وابسته به دما برای سه حالت فین مستطیلی و نمایی و محدب بعد از ساده سازی و بی بعد سازی به ترتیب به معادلات(‏۳۸۱)(‏۳۱۳)(‏۳۱۵) و(‏۳۱۵)و(‏۳۱۸) رسیدیم.حال این معادلات را بوسیله روش های گالرکین و تبدیل دیفرانسیل حل می کنیم و صحت حل را با حل عددی ارزیابی می کنیم.
حل با روش گالرکین:
۴-۱-۱ فین مستطیلی:
شکل(‏۴۱):فین مستطیلی
(‏۴۱)
برای حالت
(‏۴۲)
فرض می کنیم. تابع وزن آنها را با توجه به معادله (‏۲۵)محاسبه می کنیم.
(‏۴۳)
(‏۴۴)
(‏۴۵)
با حل معادلات بالا مقادیر بدست می آید.
(‏۴۶)
بنابراین معادله دمای بی بعد خواهدشد:
(‏۴۷)
برای حالت
(‏۴۸)
مقادیر فرض می کنیم.
(‏۴۹)
(‏۴۱۰)
و با حل دسته معادلات ‏۴۱۰ضرایب ثابت بدست می آیند.
(‏۴۱۱)
معادله دمای بی بعد در این حالت خواهد شد:
(‏۴۱۲)
برای حالت
(‏۴۱۳)
مقادیر فرض می کنیم.
(‏۴۱۴)
(‏۴۱۵)
با توجه به ضرایب ثابت بدست آمده معادله بی بعد دما بصورت زیر خواهد شد
(‏۴۱۶)
نمودار فین مستطیلی برای سه حالت :
شکل(‏۴۲):تغییرات دما بر حسب طول با توجه به تغییرات برای فین مستطیلی
همانطور که ازشکل(‏۴۲) مشاهده می شود در فین مستطیلی شکل با افزایش مقدار دمای بی بعد افزایش پیدا می کند. و اختلاف دما در پایه فین کم اما هر چه به انتهای فین پیش می رویم این اختلاف افزایش پیدا می کند.
۴-۱-۲ فین نمایی
در حالت فین نمایی مقدار را یک در نظر می گیریم.
شکل(‏۴۳):فین نمایی
(‏۴۱۷)
(‏۴۱۸)
برای حالت
مقادیر را فرض می کنیم.
(‏۴۱۹)
(‏۴۲۰)
(‏۴۲۱)
(‏۴۲۲)
(‏۴۲۳)
با حل معادلات بالا مقادیر ثابت ها بدست می آید:
(‏۴۲۴)
دمای بی بعد با توجه به ثابت های بدست آمده خواهد شد:
(‏۴۲۵)
برای حالت
(‏۴۲۶)
مقادیر فرض می کنیم.
(‏۴۲۷)
(‏۴۲۸)
(‏۴۲۹)
(‏۴۳۰)
با حل معادلات بالا مقادیر ثابت ها بدست می آیند:
(‏۴۳۱)
تابع دمای بی بعد در این حالت خواهد شد:
(‏۴۳۲)
برای حالت
(‏۴۳۳)
(‏۴۳۴)
(‏۴۳۵)
(‏۴۳۶)
(‏۴۳۷)
با حل معادلات بالا مقادیر ثابت بدست می آید:
(‏۴۳۸)
دمای بی بعد در این حالت خواهد شد:
(‏۴۳۹)
نمودار گالرکین برای برای حالت نمایی
شکل(‏۴۴):تغییرات دما بر حسب طول با توجه به تغییرات برای فین نمایی
باتوجه به شکل(‏۴۴) در فین نمایی نیز با افزایش مقدار دمای بی بعد افزایش پیدا می کند و دمای نوک آن نسبت به حالت مستطیلی شکل بیشتر است.
۴-۱-۳ فین محدب
شکل(‏۴۵):فین محدب
فین محدب در حالت
(‏۴۴۰)
(‏۴۴۱)
مقادیر فرض می کنیم.
(‏۴۴۲)
(‏۴۴۳)
(‏۴۴۴)
(‏۴۴۵)
(‏۴۴۶)
(‏۴۴۷)
حال برای بدست آوردن تابع اصلی دما متغیر را تغییر می دهیم.
(‏۴۴۸)
دمای بی بعد اصلی خواهد شد:
(‏۴۴۹)
برای حالت
(‏۴۵۰)
(‏۴۵۱)
(‏۴۵۲)
(‏۴۵۳)
(‏۴۵۴)
(‏۴۵۵)
(‏۴۵۶)
با حل دستگاه معادلات مقادیر ثابت بصورت زیر یافت می شود.
(‏۴۵۷)
بنابراین تابع دمای بی بعد بصورت زیر خواهد شد:
(‏۴۵۸)
حال برای بدست آوردن تابع اصلی باید متغیر را تبدیل کرد:
(‏۴۵۹)
بنابراین تابع دمای بی بعد خواهد شد:
(‏۴۶۰)
برای حالت
(‏۴۶۱)
(‏۴۶۲)
(‏۴۶۳)
(‏۴۶۴)
(‏۴۶۵)
(‏۴۶۶)
(‏۴۶۷)
(‏۴۶۸)
(‏۴۶۹)
(‏۴۷۰)
(‏۴۷۱)
نمودارگالرکین فین محدب برای حالت
شکل(‏۴۶):نمودار تغییرات دما بر حسب طول با توجه به تغییرات برای فین محدب
باتوجه به شکل(‏۴۶)در فین محدب نیز با افزایش مقدار دمای بی بعد افزایش پیدا می کند و دمای نوک آن در مقادیر مختلف نسبت به حالت مستطیلی شکل بیشتر اما نسبت به حالت نمایی کمتر است.
۴-۱-۴ روش تبدیل دیفرانسیل(DTM):
حال به حل مسائل به این روش می پردازیم.
برای فین مستطیلی شکل:
همانطور که قبلا اثبات شده است معادله فین مستطیلی به این صورت می باشد.
(‏۴۷۲)
با استفاده از روابط حاکم در روش تبدیل دیفرانسیل که برخی از آنها درجدول(‏۲۱) آورده شده است معادله تبدیل دیفرانسیل حالت مستطیلی بصورت زیر خواهد شد:
(‏۴۷۳)
شرایط مرزی در حالت تبدیل دیفرانسیل :
(‏۴۷۴)
در حل این معادلات نیاز به شرط مرزی کمکی داریم بنابراین از شرط کمک می گیریم و بعد مقدار را با توجه به شرایط مرزی اصلی مسئله محاسبه می کنیم.
(‏۴۷۵)
(‏۴۷۶)
(‏۴۷۷)
(‏۴۷۸)
(‏۴۷۹)
(‏۴۸۰)
(‏۴۸۱)
(‏۴۸۲)
برای حالت
(‏۴۸۳)
(‏۴۸۴)
برای حالت
(‏۴۸۵)
(‏۴۸۶)
برای حالت
(‏۴۸۷)
(‏۴۸۸)
نمودار روش تبدیل دیفرانسیل فین مستطیلی شکل برای حالت:
شکل(‏۴۷):نمودار تغییرات دما بر حسب طول با توجه به تغییرات برای فین مستطیل
۴-۱-۵ فین نمایی:
معادله فین نمایی به صورت زیر می باشد.
(‏۴۸۹)
با استفاده از روابط حاکم در روش تبدیل دیفرانسیل که برخی از آنها در آورده شده است معادله تبدیل دیفرانسیل حالت نمایی بصورت زیر خواهد شد:
(‏۴۹۰)
شرایط مرزی برای حالت تبدیل دیفرانسیل :
(‏۴۹۱)
در حل این معادلات نیاز به شرط مرزی کمکی داریم بنابراین از شرط کمک می گیریم و بعد مقدار را با توجه به شرایط مرزی اصلی مسئله محاسبه می کنیم.
(‏۴۹۲)
(‏۴۹۳)
(‏۴۹۴)
(‏۴۹۵)
(‏۴۹۶)
برای حالت:
(‏۴۹۷)
(‏۴۹۸)
برای حالت:
(‏۴۹۹)
(‏۴۱۰۰)
برای حالت:
(‏۴۱۰۱)
(‏۴۱۰۲)
نمودار روش تبدیل دیفرانسیل فین نمایی برای حالت:
شکل(‏۴۸):نمودار تغییرات دما بر حسب طول با توجه به تغییرات برای فین نمایی
۴-۱-۶ فین محدب:
معادله فین نمایی به این صورت زیر می باشد.
(‏۴۱۰۳)
با استفاده از روابط حاکم در روش تبدیل دیفرانسیل معادله تبدیل دیفرانسیل حالت نمایی بصورت زیر خواهد شد:
(‏۴۱۰۴)
شرایط مرزی در حالت تبدیل دیفرانسیل :
(‏۴۱۰۵)
در حل این معادلات نیاز به شرط مرزی کمکی داریم بنابراین از شرط کمک می گیریم و بعد مقدار را با توجه به شرایط مرزی اصلی مسئله محاسبه می کنیم.
(‏۴۱۰۶)
(‏۴۱۰۷)
(‏۴۱۰۸)
(‏۴۱۰۹)
(‏۴۱۱۰)
برای حالت:
(‏۴۱۱۱)
(‏۴۱۱۲)
برای بدست آوردن تابع اصلی دما تغییر متغیر می دهیم.
(‏۴۱۱۳)
(‏۴۱۱۴)
برای

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید