پایان نامه ارشد درمورد |V_k، K_k)، V_k=u_k، البعد

No category

گیریم یعنی وقتی که σ جمع مستقیم خانواده ای از نمایش‌های تحویل ناپذیر σ_k:R→B(K_k) است. آن‌گاه با توجه به تجزیه V ، K=⨁_k K_k را می‌توان به فرم V=(V_k) نشان داد (یعنی یک بردار ستونی که ممکن است نامتناهی نیز باشد) که هرV_k∈B(C^n , K_k) و یک تجزیه قطری به شکل V_k=u_k |V_k | دارد که |V_k |=√(V_k^* V_k ) به طوری که u_k∈B(C^n , K_k) طولپا است. این امر ممکن است چون اگر R نامتناهی البعد باشد ان گاه dim⁡〖K_k≥n〗. در واقع اگر dim⁡〖K_k
در این ضرب داخلی روی عمل می‌کند چون و وقتی α→۰=P^⊥ P ان گاه w→a_1^(-2)بنابراین :
چون برای hهایی که عضو هستند برابر است.
اکنون از پیوستگی u و تساوی x=〖u(α)〗^* (y⨁x_1 )u(α)) (α∈(۰,۱]) نتیجه می شود که :
x=lim┬(α→۰)⁡〖〖u(α)〗^* (y⨁x_١ )u(α)〗=lim┬(α→۰)⁡〖(〖P^⊥〗^* P^* )(y⨁x_١ ) ■(P^⊥@P)〗=P^⊥ yP^⊥+Px_١ P
جایی که همگرایی در توپولوژی عملگر قوی () است. لذا :
پس اگر تحول ناپذیر باشد در نتیجه :
که جابجاگر است.
از طرفی چون و P∈C^’ پس باید یک اسکالر باشد. چون و P:H→(ran a_١ ) ̅ پس لذا :
∃ λ∈C : P=λ≠۰
اما چون پس و در نتیجه . ■
در [۱۱] اثبات شده که هر زیرمجموعه محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی از عامل ، شاملها (λ∈C) به عنوان نقاط فرینش است (البته در حالت طبق [۴] قضیه۱، ثابت شده که اگر فشرده و محدب باشد آن گاه نقاط -فرینش همان اسکالرها هستند بنابراین بدون کاسته شدن از کلیت می‌توان فرض کرد که .
۴- ۲: تراکم به وقتیk≤n:
تعریف ۴- ۲- ۱: فرض کنیم برای هر k≤n، یک تصویر متعامد پوشا به اولین k مختص‌ها باشد یعنی که . قرار می‌دهیم و با مشخص کردن ، K_k را به عنوان زیرمجموعه در نظر می‌گیریم. بنابراین برای هر x∈M_n، P_k xP_kتراکم به است. همچنین K_k تراکم از به است.
برای هر تعریف می‌کنیم . لذا به طوری که و .
گزاره ۴- ۲- ۲: فرض کنیم یک مجموعه ی محدب باشد و تراکم آن به باشد. بنابراین محدب است. اگر فشرده باشد آن‌گاه نیز فشرده است.
حتی اگر آن‌گاه .
قبل از اثبات این گزاره خاطرنشان می‌کنیم که در [۱۲] منظور ازP_nk، است و چون طبق گزاره ۱- ۱- ۳، پس از همین حالا به جای از و به جای از P_k استفاده می‌کنیم لذا تعریف ۴- ۲- ۱ منطبق بر تعریف آمده در [۱۲] است.
اثبات گزاره ۴- ۲- ۲:
فرض کنیم یک ترکیب محدب عنصر از باشد. چون و تراکم پس :
فرض کنیم بنابراین :
فرض کنیم . چون و S محدب C^* است . بنابراین :
که چون نمایش در به صورت است در نتیجه تساوی اخیر برابر است با :
پس محدب است.
اکنون فرض کنیم فشرده باشد. ابتدا نشان می دهیم که تابع تراکم، یک *- همومورفسیم است. فرض کنیم تابع تراکم از M_n به M_k باشد به طوری که :
آنگاه :


(۳f(xy)=P_k xyP_k=P_k xP_k^(-١) P_k yP_k=(P_k xP_k^(-١) )(P_k yP_k )
=(P_k xP_k )(P_k yP_k )=f(x)f(y) ∀ x,y∈M_n
تساوی (۳) به این دلیل است که پس . لذا طبق قضیه ۸- ۱- ۴ از [۹] ، پیوسته است و چون تابع پیوسته هر مجموعه ی فشرده را به فشرده می‌نگارد پس نیز فشرده است.
اکنون فرض کنیم لذا به ازای هرx ̃∈S، x ̃=∑_i▒〖t_i^* g_i t_i 〗که هم چنین فرض کنیم به طوری که . یکانی‌های را انتخاب می‌کنیم به طوری که :
∃s_i=u_i t_i ١_k∈M_k : u_i t_i P_k=u_i t_i (■(١_k&0@0&0))=(■(u_i t_i ١_k&0@0&0))=(■(s_i&0@0&0))
بنابراین :
∑_i▒〖s_i^* s_i 〗=∑_i▒〖P_k^* t_i^* u_i^* u_i t_i P_k 〗=P_k^* ∑_i▒〖t_i^* t_i 〗 P_k=P_k ١_k P_k=١_k
لذا :
x=P_k x ̃P_k=∑_i▒〖P_k t_i^* g_i t_i P_k 〗=∑_i▒〖P_k t_i^* u_i^* (u_i g_i u_i^*)u_i t_i P_k 〗=∑_i▒〖(■(s_i^*&0@0&0)) u_i g_i u_i^* (■(s_i&0@0&0)) 〗=∑_i▒〖s_i^* (■(١_k&0@0&0))(u_i g_i u_i^*)(■(١_k&0@0&0)) s_i 〗=∑_i▒〖s_i^* P_k (u_i g_i u_i^*)P_k s_i 〗
که در این مجموع ١_k=∑_i▒〖s_i^* s_i 〗 و در نتیجهعضو است.■
گزاره۴-۲-۳: فرض کنیم محدب باشد ویک ترکیب محدب ازها باشد آن‌گاه توسط ترکیب کردن جملات () می‌توان y∈Sو r∈M_n را پیدا کرد به طوری کهرا به عنوان ترکیبمحدب عناصر S با تنها دو جمله به صورت باز نویسی کرد.
در این گزاره به صورت تعریف می‌شود به طوری که

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *