توان بصورت نوشت و آن را در معادله(۲-۲۲) جایگذاری کرد:
(‏۲۲۳)
بوسیله ترم های معادله(‏۲۲۳) چند جمله ای آدومیان بدست می آید:
(‏۲۲۴)
(‏۲۲۵)
(‏۲۲۶)
(‏۲۲۷)
.
.
.
حال که هامشخص شدند معادله(‏۲۲۰) را در معادله (‏۲۱۹) جایگذاری می کنیم تا ترم ها در معادله(۲-۲۱)مشخص شوند.
۲-۵-۲ کارهای انجام شده:
روی۴۳ و همکاران [۳۲] با روش آدومیان به تجزیه و تحلیل اثر دمای محیط از یک فین با انتقال حرارت تابشی و جابجایی همراه با تولید حرارت داخلی پرداختند.تجزیه و تحلیل به بررسی تنوع دما فین از مواد فین و بازده فین با پارامترهای مختلف، از جمله پارامترهای بی بعد هدایت حرارتی ، درجه حرارت بی بعد مخزن و مقدار تولید گرما انجام شده است.
کانگ چن ۴۴و همکارش [۳۳]فین مستطیل شکل غیر خطی با انتقال حرارت همرفتیو با هدایت حرارتی متغیر را با استفاده از روش تجزیه آدومیان، که در آن مسائل غیر خطی به شیوه ای مشابه به مسائل خطی حل می شود تجزیه و تحلیل کردند .
رانجان داس۴۵و همکارش[۳۴]،با استفاده از روش تجزیه آدومیان ۴۶ انتقال حرارت هدایتی، همرفتی و تابشی برای یک فین پلکانی با پارامترهای حرارتی وابسته به درجه حرارت نشان دادند.شرایط کارکرد مختلفی در نظر گرفته و عملکرد فین پلکانی با فین مستقیم مقایسه شده است.اثرات پارامترهای مختلف فیزیکی-حرارتی مؤثر بر درجه حرارت و بازده را بررسی کردندو آنها در یافتند که نتایج روش آدومیان در مقایسه با نتایج حاصل از روش تبدیل دیفرانسیل (DTM) موجود در مقالات قابل قبول است.مطالعه آنها نشان می دهد که برای یک مجموعه داده از شرایط، بازده فین پلکانی در عملکرد بهتری حرارتی نسبت به فین مستقیم دارند.
۲-۶ بهینه سازی و طراحی آزمایش به روش سطح پاسخ
روش سطح پاسخ۴۷ مجموعه ای از تکنیک های آماری در بهینه سازی فرآیندهایی که پاسخ مورد نظر توسط تعدادی از متغییرها تحت تأثیر قرار دارد، بکار گرفته می شود. این روش در اصل برای مدل کردن نتایج آزمایشگاهی طراحی شد. اما بعدها برای مدل کردن آزمایشهای عددی نیز به کار گرفته شده است. تفاوت نتایج آزمایشگاهی و نتایج عددی در نوع خطای ایجاد شده پاسخ می باشد. در آزمایشهای فیزیکی، خطا می تواند، خطای اندازه گیری باشد حال آنکه در آزمایشهای عددی این خطا می تواند نویز عددی ناشی از خطای قطع باقیمانده‌های عددی، خطای ناشی از پروسه تکراری ناقص همگرایی و یاناشی از گسسته سازی عددی معادلات دیفرانسیل باشد. شمای گرافیکی مدل ریاضی سبب تعریف واژه روش سطح پاسخ شده است. هدف از کاربرد RSM در بهینه سازی طراحی، کاهش هزینه بالای روشهای تحلیل (تحلیل المان محدود یا تحلیل (CFD و نویزهای عددی مربوطه می باشد. طراحی ترکیبی مرکزی۴۸ یا CCD زیر مجموعه‌ای از روش سطح پاسخ می باشد که برای تعیین نقاط هر فاکتور با توجه به سطوح مربوطه کاربرد دارد. با کمک این روش آماری، تعداد آزمایشها کاهش یافته و کلیه ضرایب مدل و اثر متقابل فاکتورها ، قابل برآورد هستند [۳۵]. معادله(‏۲۲۸) شکل کلی مدل مورد استفاده برای تخمین به روش سطح پاسخ است.
(‏۲۲۸)
طراحی ترکیبی مرکزی:
طراحی ترکیبی مرکزی باکس-ویلسون که عموما CCD نامیده می شود. شامل طراحی عاملی با نقاط مرکزی است که با گروهی از نقاط محوری برای برآورد انحنا تکمیل شده است. اگر فاصله نقاط، عاملی از مرکز فضای طراحی، به ازای هر فاکتور مثبت و منفی واحد باشد، فاصله نقاط همسایگی تا مرکز فضای طراحی مثبت و منفی α با شرط می باشد. مقدار دقیق α بستگی به خواص مورد نظر برای طراحی و تعداد فاکتورهای طراحی دارد[۳۶].
۳ فصل سوم
مسائل مورد بررسی
۳-۱ ضریب هدایت حرارتی وابسته به دما:
یک فین با طول و سطح مقطع دلخواه را در نظر می گیریم و فین در یک محیط با دمای گسترش می یابد و ضریب انتقال حرارت () ثابت و ضریب هدایت حرارتی() بصورت خطی با دما وابسته است.
شکل(‏۳۱):موازنه انرژی برای سطح گسترش یافته
با کاربرد اصل پایداری انرژی برای عنصر دیفرانسیلیشکل(‏۳۱) [۳۷]داریم:
(‏۳۱)
با توجه به قانون فوریه داریم[۳۸]:
(‏۳۲)
از آنجایی که آهنگ انتقال گرمای رسانشی در  را به صورت زیر می توان نوشت:
(‏۳۳)
در نتیجه داریم:
(‏۳۴)
از آنجا که وابسته به دما بوده و بصورت خطی تغییر می کند بنابر این معادله بصورت زیر می شود[۳۹]:
(‏۳۵)
(‏۳۶)
با داشتن معادلات(‏۳۳) و(‏۳۴)و(‏۳۵) معادله زیر حاصل می شود :
(‏۳۷)
از طرف دیگر، آهنگ انتقال گرمای جابجایی را به صورت زیر می توان بیان کرد:
(‏۳۸)
که بعد از ساده سازی خواهیم داشت:
(‏۳۹)
۳-۱-۱ بی بعد سازی:
در علم مکانیک بعد هرکمیت فیزیکی را می توان بر اساس بعد های پایه فضای برداری سه بعدی را می سازند. این انتخاب فضای برداری تنها انتخاب نیست بلکه معمول ترینِ آن است. در نتیجه انتخاب یک فضای برداری برای تحلیل مساله تا حدودی به صورت اختیاری انجام می شود.
البته باید توجه داشت که این ابعاد پایه می بایست لزوماً قابل اندازه گیری و به طور خطی مستقل از یکدیگر باشند . از طرف دیگر بی بعد سازی دید بهتری از سیستم مورد نظر و حل نهایی را به ما می دهد. در نتیجه در این بخش معادله دیفرانسیل پارامتری بدست آمده را بی بعد می کنیم.
(‏۳۱۰)
معادله بعد از بی بعد سازی بصورت زیر خواهد شد:
(‏۳۱۱)
۳-۱-۲ فین مستطیلی شکل:
شکل(‏۳۲):فین مستطیلی
برای فین های مستطیلی شکل داریم:
(‏۳۱۲)
بنابراین معادله انرژی برای فین مستطیلی شکل به این صورت است که :
(‏۳۱۳)
۳-۱-۳ فین نمایی:
شکل(‏۳۳):فین با پروفیل نمایی
(‏۳۱۴)
معادله انرژی برای فین های نمایی به صورت زیر خواهد شد :
(‏۳۱۵)
۳-۱-۴ فین محدب:
شکل(‏۳۴):فین محدب
(‏۳۱۶)
با جایگذاری، معادله انرژی برای فین حالت محدب خواهیم داشت :
(‏۳۱۷)
برای ساده تر کردن معادله را تغییر متغیر می دهیم.
(‏۳۱۸)
۳-۱-۵ شرایط مرزی :
پایه های فین همواره در دمای ثابتی قرار دارد وهمچنین انتهای فین عایق بوده یعنی در انتها و به صورت ایده آل هیچ انتقال حرارت وجود ندارد:
(‏۳۱۹)
که در نتیجه شرایط مرزی برای معادله دیفرانسیل به این صورت خواهد بود:
(‏۳۲۰)
۳-۲ ضریب انتقال حرارت وابسته به دما:
شکل(‏۳۵):فین یک بعدی
فین افقی یک بعدی مطابق شکل(‏۳۵)با فرض ضریب هدایت حرارتی وضریب انتقال حرارت وابسته به دما با سطح مقطع دلخواه، محیط و طول در نظر می گیریم.دمای سطح پایه و سیال اطراف به ترتیب و است.نوک فین را عایق فرض می کنیم.
بنابراین معادله انرژی یک بعدی آن خواهد شد[۴۰]:
(‏۳۲۱)
و بترتیب ضریب هدایت حرارتی و ضریب انتقال حرارت همرفتی است.
(‏۳۲۲)
(‏۳۲۳)
که ضریب هدایت حرارتی در دمای سیال اطراف و پارامتر توصیف تغییرات هدایت حرارتی و ضریب انتقال حرارت در دمای پایه، توان پارامتر توصیف حالت انتقال حرارت است.
مقادیر برای حالت های معمول انتقال حرارت برای جوشش آرام فیلم و یا چگالش، برای انتقال حرارت اجباری، برای انتقال حرارت طبیعی آرام، برای انتقال گرما طبیعی آشفته، برای جوش هسته و برای تابش می باشد.
با استفاده از روابط زیر معادله را بی بعد سازی می کنیم.
(‏۳۲۴)
معادله را می توان بدین گونه نوشت:
(‏۳۲۵)
سرانجام معادله خواهد شد:
(‏۳۲۶)
همچنین حالت بی بعد شرایط مرزی خواهد شد:
(‏۳۲۷)
۳-۳ با تولیدگرمای داخلی:
شکل(‏۳۶):فین یک بعدی
فین طولی مستطیل شکل با مشخصات ثابت ، سطح مقطع، طول ، محیط، ضریب هدایت حرارتی ، و تولید گرما در نظر می گیریم. فین به یک سطح با دمای ثابت متصل است و گرما را به محیط اطراف خود با دمای که دارای ضریب انتقال حرارت همرفتی ثابت است از دست می دهد.لازم به ذکر است که تولید گرما بصورت چشمه حرارتی است یعنی از داخل المان های ماده ، گرما تولید می شود و واحد آن () است.
در این مسئله، از روش به تجزیه و تحلیل توزیع دما در فین با تولید حرارت و هدایت حرارتی وابسته به دما استفاده می شود.
مسئله برای دو مورد اصلی حل می شود. در مورد اول فقط تولید گرما با درجه حرارت تغییر می کند، و در مورد دوم تولید گرما و هدایت حرارتی هر دو متغیر هستند.
در این مسئله ما فرض می کنیم که تغییرات دما در جهت انتقال ناچیز است، بنابراین انتقال حرارت فقط در جهت طولی()(شماتیک از هندسه فین و خواص دیگرآن درشکل(‏۳۶) نشان داده شده است) اتفاق می افتد. برای این مسئله، معادلات حاکم و شرایط مرزی را می توان به صورت زیر نوشت[۶]:
(‏۳۲۸)
(‏۳۲۹)
(‏۳۳۰)
۳-۳-۱ فین با تولید حرارت داخلی وابسته به دما و ضریب هدایت حرارتی ثابت:
در مورد اول، ما فرض می کنیم که تولید گرما در فین با دما متغیر و ضریب هدایت حرارتی ثابت باشد.
(‏۳۳۱)
از آنجا که تولید گرمای داخلی در دمای است با پارامتر های زیر بی بعد می کنیم:
(‏۳۳۲)
بنابراین می توان معادله را بصورت زیر نوشت:
(‏۳۳۳)
(‏۳۳۴)
۳-۳-۲ ضریب حرارتی فین و حرارت تولید شده داخلی را وابسته به دما :
در این حالت ضریب هدایت حرارتی بصورت زیر می شود:
(‏۳۳۵)
فرم بی بعد آن می شود:
(‏۳۳۶)
(‏۳۳۷)
معادله کلی در این حالت خواهد شد:
(‏۳۳۸)
۳-۴ فین حلقوی با پروفیل های مختلف:
شکل(‏۳۷):انواع پروفیل های فین حلقوی
در این مطالعه، معادلات توزیع دما و انتقال حرارت برای فین های همرفتی-تابشی و متخلخل حلقوی با این فرض که ضخامت فین در گردش با شعاع برای چهار شکل ( مستطیل ، محدب، مثلث و نمایی) مختلف است مطرح شده است.

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید