فصل دوم
قضایا و تعاریف اولیه
۱-۱: تصویر و تصویر متعامد؛ زیر فضای پایا و تحویل‌پذیر:
قضیه ۱-۱-۱: فرض کنیم یک فضای هیلبرت باشد، h∈H و .M≤Hهم چنین یک نقطه منحصر به فرد در باشد به طوری که . آن‌گاه:
۱) روی یک تبدیل خطی است.
۲).∀ h∈H ، ∥Ph∥≤∥h∥
۳) .
۴) .
اثبات: [۱۶] قضیه ۷-۲-۱.
تابع که در قضیه فوق تعریف شده را تصویر متعامد بر روی گوییم.
تعریف ۱-۱-۲: اگر یک عملگر خطی کراندر روی باشد به طوری که آن‌گاه گوییم یک تصویر است هرگاه .
گزاره ۱-۱-۳: اگر یک عملگر خطی کراندار روی باشد به طوری که آن‌گاه جملات زیر هم ارز هستند:
۱) تصویر است.
۲) E یک تصویر متعامد از به روی است.
۳) .
۴) خود الحاق است.
۵) نرمال است.
۶) .
اثبات: [۱۶] گزاره ۳-۳-۲.
تعریف ۱-۱-۴: نگاشت خطی و مثبت U:H→K بین دو فضای هیلبرت H و K را یک طولپای جزیی گوییم هر گاه U روی 〖Ker U〗^⊥ طولپا و در بقیه نقاط H صفر باشد. در واقع:
{█(∥U(x)∥=∥x∥ ∀ x∈〖Ker U〗^⊥@U=0 ∀ x∉〖Ker U〗^⊥ )┤
گزاره ۱-۱-۵: عملگرV را که روی فضای هیلبرت H عمل می‌کند طولپای جزئی گوییم اگر و فقط اگر E=V^* V یک تصویر باشد. در این حالت E تصویر ابتداییVو F=VV^*تصویر انتهاییV است و V^* یک طولپای جزئی با تصویر ابتداییF و تصویر انتهایی E است.
اثبات: [۹]، گزاره ۱-۱-۶.
تعریف ۱-۱-۶: اگر M≤H,T∈H (Mزیر فضای بستهH است) گوییم M یک زیرفضای پایا برای است اگر Th∈M برای هر. به عبارت دیگر اگرTM⊆M.
تعریف ۱-۱-۷: گوییم M یک زیر فضای تحویل‌پذیر برای T است هرگاه M و M^⊥ تحت T پایا باشند یعنی. TM⊆M و TM^⊥⊆M^⊥
یادآوری می‌کنیم که اگر M≤H آن‌گاه H=M⨁M^⊥. اگر T∈B(H) آن‌گاه می‌توان T را به عنوان یک ماتریس که درایه‌هایش عملگر هستند به صورت زیر بازنویسی کرد.
T=(■(W&[email protected]&Z))
به طوری که :
W∈B(M) , X∈B(M^⊥,M) , Y∈B(M,M^⊥ ) , Z∈B(M^⊥)
قضیه ۱-۱-۸: اگر P=P_M و M≤H و T∈B(H) یک تصویر متعامد به روی M باشد آن‌گاه (۱) تا (۴) هم‌ارز هستند.
(۱) M زیرفضای تحویل پذیر T است.
(۲) PT=TP .
(۳) در نمایش .X=Y=0 , T=(■(W&[email protected]&Z))
(۴) M برای A وA^* پایاست.
اثبات: [۱۶] گزاره ۷-۳-۲.
تعریف ۱-۱-۹: خانواده F از عملگرهای کراندار روی فضای هیلبرت H، به طور تحویل ناپذیر توپولوژیک عمل می‌کند هرگاه {۰} و H تنها زیر فضاهای بسته ی پایا تحت F باشند.
تعریف ۱-۱-۱۰: فرض کنیم π:A⟶B(H) یک نمایش از جبر A باشد. گوییم π یک نمایش تحویل‌ناپذیر است اگر {۰} و H تنها زیر فضاهای بسته از H باشند که تحت هر عملگر از π(A) پایا هستند.
١-٢: جبر :
جبر A روی C، فضای برداری A همراه با یک ضرب است به طوری که A با این ضرب یک حلقه است و اگر α∈Cو a,b∈A آن‌گاه α(ab)=(αa)b=a(αb).
حال اگر یک نرم روی جبر A باشد آن‌گاه (A,∥.∥) را یک جبر نرم دار گوییم.
تعریف ۱-۲-۱: جبر باناخ A، جبر A روی C همراه با یک نرم است که نسبت به آن A فضای باناخ است و برای هر a,b∈A، ∥ab∥≤∥a∥∥b∥.
اگر عنصر همانی A باشد آن‌گاه فرض می‌کنیم . عنصر همانی را با ۱ نشان می‌دهیم. در صورتی که A یکدار نباشد با تعریف یک ساختار جبر باناخ مناسب روی جمع مستقیم A_١≔A⨁C و نشاندن A در A_١، یک ریختی طولپا بین A و جبر باناخ یکدار A_١ با عنصر همانی برقرار می‌شود. تحت این یکسانی A ایده‌آل A_١ است و با این‌کار تعریف معکوس و طیف برای عناصر جبرهای باناخ غیریکدار ممکن خواهد شد. اگر A یک جبر نرم‌دار با عنصر یکه ۱ باشد و ، گوییم A یک جبر نرم‌دار یکانی است.
تعریف ۱-۲-۲ : نگاشتA⟶A:* را که هر عنصر a از جبر باناخ مختلط A را به عنصر a^* از A می‌برد، یک اینولوشن گوییم هر گاه :
۱) ∀α,β∈C و ∀a,b∈A 〖(αa+βb)〗^*=α ̅a^*+β ̅b^*.
۲) ∀a,b∈A 〖(ab)〗^*=b^* a^* .
۳) ∀a∈A 〖(a^*)〗^*=a .
به طوری که α ̅ و( β) ̅، مزدوج αوβ در C هستند. جفت (A , *) را *-جبر می نامیم.
تعریف ۱-۲-۳: اگر S زیر مجموعه ای از A باشد و S^*={ a^* : a∈A } و اگر S^*=S، گوییم S یک مجموعه ی خود الحاق است.
تعریف ۱-۲-۴: یک زیر جبر خود الحاق B از A را یک *_زیر جبر از A گوییم.
تعریف ۱-۲-۵: یکجبر C^*، یک جبر باناخ مختلط با اینولوشن * است که علاوه بر شرایط (۱) تا (۳) در تعریف قبل، دارای شرط اضافی زیر نیز باشد:
(۴) ∀a∈A ∥a^* a∥=〖∥a∥〗^٢.
شرط (۴) نشان می دهد که اینولوشن * در C^*-جبر A، نرم را حفظ می کند بنا بر این پیوسته است چون :
〖∥a∥〗^٢=∥a^* a∥≤∥a^*∥ ∥a∥ ⟹ ∥a∥≤∥a^*∥
و با قرار دادن a^* به جای a نتیجه می شود که :
∥a^*∥≤∥a∥ ⟹ ∥a∥=∥a^*∥
تعریف ۱-۲-۶: اگر A یک جبر باشد آن‌گاه M_n (A) جبر همه ماتریس‌های با درایه‌های در A را مشخص می‌کند. اگر A یک *_جبر باشد (یعنی A یک جبر با * است که برای هرa^*∈A , a∈A)، M_n (A) با تعریف 〖(a_ij)〗_(i,j)^*=〖(a_ji^*)〗_(i,j) نیز *- جبر است.
طبق تعریف بالا به راحتی قابل دیدن است که اگر φ:A⟶B یک *- همومورفیسم بین *-جبرهایوباشد.آن‌گاه طبق تعریف * روی M_n (A)، تقویت φ یعنی :
φ^’:M_n (A)⟶M_n (B) : φ^’ 〖(a_ij)〗_(i,j)=〖(φ(a_ij))〗_(i,j)
و اگر u∈M_n (B(H)) آن‌گاه φ(u)∈B(H^n) را به صورت زیر تعریف می کنیم :
φ(u)(x_١… x_n )=(∑_(j=١)^n▒〖u_١j (x_j ),…,∑_(j=١)^n▒〖u_nj (x_j ) 〗〗) ∀(x_١,…,x_n)∈H^n
که طبق این تعریف φ:M_n (B(H))⟶B(H^n) یک *- ایزومورفیسم می‌شود.
حال طبق قضیه ۲-۴-۳ از [۱۷]، اگر A یک جبر باشد آن‌گاه یک نرم منحصر به فرد روی M_n (A) موجود است (∀a∈M_n (A) , ∥a∥=∥φ(a)∥) که باعث می‌شود M_n (A) به جبر تبدیل شود.
قابل ذکر است که طبق] ۱۳[، صفحه ۲، در H^n نرم و ضرب داخلی به صورت زیر تعریف
می شود :
∀(h_١,…,h_n ) , (k_١,…,k_n )∈H^n 〖∥ ■(h_١@⋮@h_n ) ∥〗^٢=〖∥h_1∥〗^٢+…+〖∥h_n∥〗^٢ و
〖 ■(h_١@⋮@h_n ) , ■(k_١@⋮@k_n ) 〗_(H^n )=〖〗_H+…+〖〗_H
همچنین طبق قضیه ی ۶ از] ۱۳[، ضرب دو عنصر از جبر M_n⨂A (Aیک جبر است) به صورت زیر می باشد :
∀(a_١⨂b_١ ) , (a_٢⨂b_٢ )∈M_n⨂A (a_١⨂b_١ ).(a_٢⨂b_٢ )=(a_١ b_١)⨂(a_٢ b_٢)
۱-۳: جبرهای فون نویمان و عامل‌ها:
از ابتدای این بخش قرار داد می کنیم که I یک عملگر همانی روی فضای هیلبرت H است.
تعریف ۱-۳-۱: اگر H یک فضای هیلبرت باشد توپولوژی عملگر ضعیف روی B(H)(مجموعه ی همه عملگرهای خطی کراندار از H به H )، توپولوژی موضعاً محدب تعریف شده توسط خانواده ای از نیم‌نرم‌های {P_(h,k) : h,k∈H} است به طوری که، P_(h,k) (A)=|| و برای هر عملگر A از B(H) توپولوژی عملگر قوی روی B(H)، توپولوژی تعریف شده توسط خانواده ی نیم نرم‌های {P_h : h∈H} است که P_h (A)=∥Ah∥. توپولوژی عملگرضعیف را با (WOT) و توپولوژی عملگر قوی را با (SOT) نمایش می دهند.
قابل ذکر است که توپولوژی موضعاً محدب یک توپولوژی روی فضای برداری چون V است به طوری که توسط این توپولوژی V یک فضای موضعاً محدب باشد یعنی این توپولوژی دارای پایه‌ای شامل مجموعه‌های محدب باشد.
گزاره ۱-۳-۲: فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و {A_i } یک نت در B(H) باشد آن‌گاه :
۱) A□(→┴((WOT)) ) A_i اگر و تنها اگر برای هر h,k درH.
۲) A_i □(→┴((SOT)) ) A اگر و تنها اگر برای همه h های در H، ∥A_i h-Ah∥⟶۰.
اثبات: [۱۶]، گزاره ۵-۱-۳.
تعریف ۱-۳-۳: اگر A یک *-زیرجبر قویاً (ضعیفاً) بسته ی B(H) باشد. آن‌گاه A یک جبر فون- نویمان است. به عبارتی اگر A یک جبرC^* باشد که روی فضای هیلبرت H عمل می‌کند به طوری که در توپولوژی عملگر قوی (ضعیف) بسته و شامل همانی I نیز باشد گوییم A یک جبر فون- نویمان است.
تعریف ۱-۳-۴: اگر C یک زیر مجموعه از جبر A باشد، جابجاگر C^’ را مجموعه ی همه ی عناصر C جابجا شود تعریف می کنیم. C^’ یک زیر جبر A نیز است.
تعریف ۱-۳-۵: یک عامل روی فضای هیلبرت H، یک جبر فون نویمان A رویH است به طوری که A∩A^’=C_I‌که A^’={a∈A : ab=ba ∀b∈A} جابجاگر A است.
یاد اوری می کنیم که اگر H یک فضای هیلبرت باشد، B(H) یک عامل است.
تعریف ۱-۳-۶:C^*-جبر یکانی A را یک جبر ابر متناهی یکنواخت گوییم هرگاه A دارای دنباله صعودی 〖(A_n)〗_(n=١)^∞ از – زیرجبرهای ساده متناهی البعدی باشد که هر کدام شامل یکه A هستند به طوری که ⋃_(n=١)^∞▒A_n در A چگال و یکه آن I باشد.
تعریف ۱-۳-۷: جبر فون نویمان R روی فضای هیلبرت H را ابرمتناهی گوییم اگر دارای – زیرجبر ضعیفاً چگال و ابر متناهی یکنواخت باشد.
تعریف ۱-۳-۸: اگر a یک عملگر در جبر فون‌نویمان A باشد محمل مرکزی C_a از عملگر a، تصویرI-P است به طوری که P اجتماع همه تصویر‌های مرکزی P_α از A است و P_α a=0(تصویر مرکزی P_α تصویری است که در مرکز A یعنی قرارگرفته باشد). بنابراین C_a در مرکز A قرار دارد و C_a a=a. پس می‌توان گفت C_a=∩Q که Q یک تصویر مرکزی است به طوری کهQa=a.
گزاره ۱-۳-۹: اگر E و F به ترتیب تصاویری از H به روی زیر فضاهای بسته ی Y و Z باشند، شرایط زیر هم ارز هستند :
١( Y⊂Z .
٢( FE=E .
٣) EF=E .
۴) ∀ x∈H ∥Ex∥=∥Fx∥ .
۵)E≤F .
اثبات: ] ۹ [، گزاره ۲-۵-۲.
تعریف ۱-۳-۱۰: هر گاه یکی از ۵ شرط گزاره ی ۱-۳-۹ بر قرار باشد گوییم E یک زیر تصویر F است.
تعریف ۱-۳-۱۱: فرض کنیم E و F دو تصویر باشند. گوییم E و F نسبت به جبر فون نویمان R هم ارز هستند و می نویسیم E∼F (R)، هر گاه V∈R موجود باشد که E=V^* V و F=VV^*.
تعریف ۱-۳-۱۲: اگر E و F دو تصویر در جبر فون نویمان A باشند گوییم E از F ضعیف‌تر است و می‌نویسیمE≲F هر گاه E با یک زیر تصویر ازF هم ارزباشد.
حال اگر E≲F و F≲E گوییمE∼F.
تعریف ۱-۳-۱۳: تصویرE در جبر فون نویمان A را نا متناهی گوییم(نسبت بهA) هر گاه تصویر E_0 در A موجود باشد به طوری که E∼E_0 : ∥f∥=١, f∈H} تعریف می‌شود و شعاع عددی آن عبارتست از:
w(T)=Sup{|λ| : λ∈W(T)}.
طبق قضیه ۱۷-۲ از [۸]، برای فضاهای متناهی البعد، W(T) مجموعه همه تصاویرT تحت همه‌ نگاشت‌های یکانی مثبت از B(H) به اعداد مختلط است.
تعریف ۱-۵-۴:‌ فرض کنیمA یک جبرC^* و x∈A باشد. برد ماتریسی x را که با W_n (x) نشان می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود:
φ:A⟶M_n }یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی است: W_n (x)={φ(x)
تعریف ۱-۵-۶: فرض کنیم یک حالت روی – جبر A باشد آن‌گاه:
۱) یک حالت محض است اگر و فقط اگر نمایش

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید